20. Різниця і сума кубів двох виразів

Різницю квадратів двох виразів можна розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Розкладаючи на множники різницю кубів двох виразів, використовують формулу різниці кубів:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Доведемо цю тотожність, перемноживши вирази a - b і a² + ab + b²:

(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + а²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³.

У формулі різниці кубів тричлен a² + ab + b² називають неповним квадратом суми виразів а і b (він нагадує тричлен a² + 2ab + b², який є квадратом суми виразів а і b). Отже, формулу різниці кубів можна сформулювати так:

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.

При розкладі на множники суми кубів двох виразів використовують формулу суми кубів:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Доведемо цю тотожність:

(a + b)(a² - ab + b²) = a³ - а²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³.

Тричлен a² - ab + b² називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Отже,

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.

П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники:

а) a³  64; б) 27a³ + 125b³; в) x³  y⁶.

● а) a³  64 = a³  4³ = (a  4)(a² + 4a + 16);

б) 27a³ + 125b³ = (3a)³ + (5b)³ = (3a + 5b)(9a²  15ab + 25b²);

в) x³  y⁶ = (x³ + (y²)³) = (x + y²)(x² - xy² + y⁴). ●

Усно

655. Назвіть неповний квадрат різниці виразів:

a) x  і  y; б) c  і  d;  в) p  і  1; г) 2  і  c.

656. Назвіть неповний квадрат суми виразів:

a) m  і  n; б) p  і  q;  в) a  і  1; г) 3  і  x.

557. Розкладіть на множники: a) x³ - y³;  б) m³ + n³.

Рівень а

Розкладіть на множники:

658. a) p³ - q³; б) b³  1; в) x³  27; г) 64  y³;

д) b³ + c³; е) a³ + 8; є) 1 + y³; ж) 125 + b³.

659. a) m³ - n³; б) b³  8; в) 27  a³; г) 1  z³;

д) x³ + y³; е) k³ + 64; є) p³ + 1; ж) 27 + c³.

660. a) 27x³ - 1; б) 1 + 64b³; в) 8а³  27; г) 125  27y³;

д) 64m³  27; е) b³ +  ; є)  y³  1; ж)  x³ + 1.

661. a) m⁶ - n³; б) a⁹ + b⁶; в) а⁶ + c⁶; г) x¹² - y⁹.

662. a) 8z³ + 1; б) 1 - 125p³; в) 27x³ + 64; г) 125c³  8;

д) a³   1; е) 27m³ +  ; є) y³  x⁹; ж) p⁶ + q¹².

Р івень б

663. Запишіть у вигляді добутку:

a) a³ + 8; б) b³  c³;

в) 27 + y³; г) 64  z³.

Розкладіть на множники:

664. а ) 64a³  27b³; б)  p³  8q³; в) 27а⁶  125;

г) 0,001a⁶  b³c³; д) 8x⁹ + 125y⁶; е) 1000  a³b⁹c¹².

665. а) 216b³  27c³; б) 125m³ +  n⁶; в) 0,064x⁹y⁶z³  27.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

666. а) 921³ - 821³  на 100; б) 57³ + 28³  на 85.

667. а) 27³ + 37³  на 64; б) 75³ - 46³  на 29.

Спростіть вираз:

668. а) (a - b)(a² + ab + b²) + b³; б) (x² - 1)(x⁴ + x² + 1) + 1;

в) (a² + b²)(a⁴ - a²b² + b⁴) - а⁶  b⁶;

г) (a + 2)(a² - 2a + 4) - (a - 2)(a² + 2a + 4).

669. а) (x + 3)(x² - 3x + 9) - 27;

б) (b - 1)(b² + b + 1) + (b + 1)(b² - b + 1).

Розв’яжіть рівняння:

670. а) (x - 2)(x² + 2x + 4) = x³ + 4x;      б) (y² - 3y + 9)(y + 3) = 6y + y³.

671. а) (1 - x)(1 + x + x²) = x - x³;      б) -8z + z³ = (z - 4)(z² + 4z + 16).