МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ АРК

РВНЗ «КРИМСЬКИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» (м. Ялта)

Інститут економіки та управління

Кафедра математики, теорії та методики навчання математики

ЗАТВЕРДЖУЮ

Перший проректор

_____________ М.Я. Ігнатенко

«_____» ___________ 2011 р.

ПРОГРАМА

КОМПЛЕКСНОГО ДЕРЖАВНОГО ІСПИТУ

З МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ

для студентів освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр»

спеціальності 8.010100 «Педагогіка і методика

середньої освіти. Математика (спеціалізація – інформатика)»

Програма затверджена на засіданні

кафедри математики, теорії та методики навчання математики

(протокол № 7 від 05.01.2011 р.)

Завідувач кафедри

_______________ М.Я.Ігнатенко

Ялта 2011

1. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Метою державного екзамену з математики є контроль рівня загальної математичної культури випускників і перевірка фактичних знань, умінь та навичок з фундаментальних розділів математики, які необхідні при викладанні математики в середніх навчальних закладах освіти та є базовим для успішного продовження навчання в магістратурі та аспірантурі.

Програма державного екзамену з математики містить основні і найбільш важливі в ідейно-теоретичному і практичному відношенні питання з курсів теорія и методика навчання математики у вищій та середній школі, наукові основи шкільного курсу математики, основні структури сучасної математики, історія математики.

На державному екзамені студент повинен продемонструвати вміння формулювати означення, аксіоми і теореми, наводити при необхідності ілюстрації, приклади, контрприклади, доводити теореми і застосовувати відповідні факти при розв’язуванні конкретних математичних та прикладних задач.

Студенти повинні володіти теоретико-множинною і логічною символікою, основними поняттями алгебри і теорії чисел (алгебраїчна операція, група, кільце, поле, векторний простір, лінійна залежність і лінійна незалежність, базис і розмірність простору, лінійні оператори, матриці і визначники, прості числа, подільність, конгруенції, многочлени); мати чітке уявлення про основні числові системи і їх будову, володіти навичками розв’язування систем лінійних рівнянь, знати основні арифметичні застосування теорії конгруенцій.

Студенти повинні бути ознайомленими як з груповою, так і зі структурною точкою зору на геометрію, з сучасним аксіоматичним методом, основними фактами геометрії Лобачевського; мати загальні уявлення про елементи багатовимірної геометрії афінного і евклідового просторів, різні неевклідові геометрії; вміти застосовувати теоретичні знання на практиці, зокрема, до доведення теорем і розв’язання задач шкільного курсу геометрії, це означає, що при відповіді студенти повинні продемонструвати достатньо широкий погляд на геометрію та її методи, а також на елементарну геометрію з точки зору вищої, готовність викладати шкільну геометрію, незалежно від того на якій аксіоматиці вона побудована, тобто готовність працювати в школі за будь-яким посібником; використовувати знання топології при означенні ліній, поверхонь, поверхонь з межею, геометричного тіла; володіти основними поняттями математичного аналізу (функція, послідовність, ряд, границя, неперервність, похідна, інтеграл, міра); мати чітке уявлення про метричний простір та основні елементарні функції дійсної та комплексної змінної; володіти навичками обчислення границь, похідних, інтегралів; вміти розв’язувати найпростіші типи диференціальних рівнянь; знати застосування диференціального та інтегрального числення, а також диференціальних рівнянь до розв’язування практичних задач.

Державний екзамен з математики проводиться за білетами, затвердженими кафедрою. Кожен білет містить чотири завдання, що оцінюються 12 балами.

Критерії оцінок

Оцінка «2» (незадовільно) - 0-3 балів;

Оцінка «3» (задовільно) - 4-6 балів;

Оцінка «4» (добре) - 7-9 балів;

Оцінка «5» (відмінно) - 10-12 балів.

Додатково студент може здобути 1 бал за оригінальність розв’язання задачі або доведення теореми і 1 бал – за повні і правильні відповіді на додаткові запитання (у межах білета).

2. Програма державного екзамену Основні структури сучасної математики

Основні алгебраїчні структури

Бінарні алгебраїчні операції. Асоціативність, комутативність та дистрибутивність бінарних операцій. Нейтральний елемент, симетричні елементи. Обернені операції. Алгебраїчні структури, алгебри. Означення і приклади груп. Елементарні відомості про групи. Означення кільця й приклади кілець. Елементарні відомості про кільця. Область цілісності. Означення поля. Приклади полів. Деякі властивості полів. Характеристика поля. Підполе, розширення поля. Упорядковані кільця і поля. Поняття ізоморфізму. Ізоморфізм груп. Ізоморфізм кілець і полів.

Подільність в кільці цілих чисел

Означення й основні властивості подільності в кільці цілих чисел. Ділення з остачею. Найбільший спільний дільник цілих чисел, алгоритм Евкліда. Властивості НСД. Взаємно прості числа. Найменше спільне кратне. Системи числення. Арифметичні операції над системними числами. Переведення цілих чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Прості числа. Теореми про прості числа. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена. Основна теорема арифметики. Канонічний розклад складеного числа. Числові функції.( [x], {x}, (x), (x), (x), (x)). Ланцюгові дроби. Запис раціональних чисел у вигляді скінчених ланцюгових дробів. Підхідні дроби та їх основні властивості. Розв’язування в цілих числах лінійного рівняння з двома невідомими.

Групи і кільця

Групи. Підстановки. Групи підстановок. Підгрупи. Циклічні групи. Розклад групи за підгрупою. Нормальні дільники групи. Фактор-групи. Гомоморфізми груп. Елементарні відомості про кільця. Кільця з одиницею. Дільники нуля. Область цілісності. Поле часток. Ідеали кільця. Операції над ідеалами. Фактор-кільце. Гомоморфізми кілець. Характеристика кільця з одиницею. Подільність в області цілісності. Кільце головних ідеалів. Евклідові кільця.

Теорія конгруенцій

Конгруенції в кільці цілих чисел. Властивості конгруенцій за даним модулем. Властивості конгруенцій за різними модулями. Класи чисел за даним модулем. Фактор-кільце класів лишків за даним модулем. Повна та зведена система лишків за даним модулем. Функція Ейлера та її властивості. Теорема Ейлера і Ферма. Лінійні конгруенції з одним невідомим. Способи розв'язування конгруенцій першого степеня. Системи конгруенцій. Конгруенції n-го степеня. Побудова рівносильних конгруенцій. Число розв'язків конгруенції n-го степеня. Квадратичні лишки і нелишки. Критерій Ейлера. Символ Лежандра. Розв'язування квадратичних конгруенцій. Показники за модулем. Властивості показників за модулем. Добуток показників. Існування первісних коренів. Число класів первісних коренів. Індекси за простим модулем. Розв'язування двочленних конгруенцій n-го степеня за допомогою індексів. Застосування конгруенцій до встановлення ознак подільності. Перетворення дробу в систематичний і визначення довжини періоду систематичного дробу.

Алгебраїчні числа

Поняття алгебраїчного розширення. Поле алгебраїчних чисел. Поняття побудовності чисел. Побудовність і числові поля. Критерії побудовності числа циркулем і лінійкою.

Дискретна математика

Висловлення. Логічні операції (заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція). Рівносильність висловлень. Логічні формули. Логічні закони. Множини і підмножини. Операції над множинами (об’єднання, різниця, перетин, симетрична різниця, доповнення). Властивості операцій над множинами. Діаграми Ейлера – Венна. Прямий добуток множин. Відношення між елементами множини. Операції над відношеннями. Властивості відношень. Відношення еквівалентності. Розбиття множини на класи еквівалентності, фактор-множина. Відношення порядку. Відповідність, функція, сюр’єктивні, ін’єктивні та бієктивні відображення. Рівнопотужність і подібність множин. Бульові функції і предикати. Логіка предикатів. Запис висловлень за допомогою логічної мови. Рівносильність предикатів на множині. Поняття теореми. Прості і складні теореми. Обернені і протилежні теореми. Необхідні і достатні умови. Доведення від супротивного.

Числові системи

Скінченні і нескінченні множини. Натуральні числа. Принцип математичної індукції. Елементи комбінаторики. Поле дійсних чисел. Аксіоматичне означення поля дійсних чисел. Наслідки з аксіом поля й упорядкованості поля. Наслідки з аксіоми точної верхньої межі. Позиційний десятковий запис дійсних чисел. Побудова поля комплексних чисел. Властивості комплексних чисел. Геометричне зображення комплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа. Геометрична інтерпретація операцій над комплексними числами. Формула Муавра. Добування квадратного кореня з комплексного числа. Добування кореня n–го степеня з комплексного числа. Корені з одиниці. Загальні відомості про рівняння і системи рівнянь. Деякі означення в термінах математичної логіки. Алгебраїчні рівняння n-го степеня з одним невідомим (квадратні, кубічні, рівняння четвертого степеня).