Лінійна алгебра

Системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь, основні означення. Матриця системи лінійних рівнянь. Перетворення системи у процесі розв’язування. Лінійні комбінації. Лінійні перетворення систем. Перетворення системи лінійних рівнянь методом Гаусса. Аналіз вивідної системи лінійних рівнянь. Знаходження розв’язків системи лінійних рівнянь.

Матриці і визначники

Перестановки. Властивості інверсій. Транспозиції. Подвійні перестановки. Означення детермінанта n-го порядку. Обчислення детермінантів другого та третього порядків. Основні властивості детермінантів. Рівноправність рядків і стовпців детермінанта. Означення мінорів і алгебраїчних доповнень. Розкладання детермінанта за елементами рядка або стовпця. Інші властивості алгебраїчних доповнень. Теорема Лапласа. Добуток детермінантів. Способи обчислення детермінантів n-го порядку. Детермінант Ван дер Монда. Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою детермінантів. Означення операцій над матрицями. Властивості операцій над матрицями. Обернена матриця. Методи обчислення оберненої матриці. Кільце квадратних матриць.

Векторні простори

Означення векторного простору. Найпростіші наслідки з аксіом векторного простору. Лінійна залежність векторів. Розмірність векторного простору. Базис векторного простору. Координати вектора. Зв’язок між базисами. Перетворення координат вектора. Ізоморфізм векторних просторів. Підпростори векторного простору. Лінійні оболонки. Лінійний многовид. Перетин і сума підпросторів. Означення евклідового простору. Довжина вектора. Кут між векторами. Ортогональний базис. Ортонормований базис. Ізоморфізм евклідових просторів. Ортогональне доповнення підпростору. Простір розв’язків лінійної однорідної системи рівнянь. Фундаментальна система розв’язків лінійної однорідної системи рівнянь. Лінійний многовид розв’язків лінійної неоднорідної системи рівнянь.

Лінійні оператори

Означення і найпростіші властивості лінійних операторів. Завдання лінійного оператора за допомогою відображення базису. Матриця лінійного оператора. Зв’язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах. Подібні матриці. Операції над лінійними операторами та їх властивості. Лінійні алгебри. Ізоморфізм лінійних алгебр. Ранг і дефект лінійного оператора. Вироджені оператори. Обернений оператор. Повна лінійна група. Інваріантні підпростори. Власні вектори й власні значення лінійного оператора. Характеристичне рівняння лінійного оператора. Лінійні оператори з простим спектром. Зведення матриці до діагонального виду. Симетричні оператори. Квадратичні форми в дійсному евклідовому просторі.

Системи лінійних нерівностей

Системи лінійних нерівностей, їх геометричний смисл. Однорідні системи лінійних нерівностей. Критерій несумісності системи. Невід’ємні розв’язки системи лінійних нерівностей. Графічний спосіб розв’язування систем лінійних нерівностей. Задачі лінійного програмування, їх математичне формулювання, геометрична інтерпретація та різні форми завдання. Геометричний спосіб розв’язування. Симплекс-метод.