Аналітична геометрія

Елементи векторної алгебри

Вступ. Вектор (поняття). Додавання, віднімання векторів, множення вектора на число, ділення колінеарних векторів та їх властивості. Скалярний добуток векторів та його властивості. Лінійна комбінація та лінійна залежність векторів. Координати вектора відносно даного базису та їх властивості.

Метод координат на площині

Афінна система координат на площині; прямокутна декартова система координат. Ділення відрізка в даному відношенні; віддаль між двома точками на площині. Полярні координати; перехід від полярних координат до декартових і навпаки. Геометричне тлумачення рівнянь та нерівностей між координатами. Пряма лінія. Різні способи задання прямої на площині; різні види рівнянь прямої в афінній системі координат. Геометричний смисл знака тричлена Ax+By+C . Пряма лінія в прямокутній системі координат; нормальне рівняння прямої. Віддаль від точки до прямої. Кут між прямими. Пучок прямих.

Перетворення площин та їх застосування

до розв’язування задач елементарної геометрії

Відображення, геометричні перетворення (основні поняття). Афінні перетворення: поняття, інваріанти. Група афінних перетворень. Перетворення подібності як окремий випадок афінного перетворення. Власно-подібне та дзеркально-подібне перетворення. Група перетворень подібності. Гомотетія як окремий випадок афінного перетворення. Рухи як окремий випадок перетворення подібності. Класифікація рухів. Група рухів. Рухи першого роду: перенос, поворот навколо точки, центральна симетрія. Рухи другого роду: осьова симетрія. Стиск до прямої. Перетворення подібності, відмінні від рухів та гомотетії. Інверсія: поняття інверсії прямої та кола. Ерлангенська програма Ф. Клейна.

Лінії другого порядку

Еліпс: поняття, канонічне рівняння, властивості. Еліпс як афінний образ кола. Гіпербола: поняття, канонічне рівняння, властивості. Парабола: поняття, канонічне рівняння, властивості. Лінії другого порядку як конічні перерізи. Рівняння ліній другого порядку в полярних координатах. Загальне рівняння ліній другого порядку та зведення його до канонічного виду методом геометричних перетворень. Центр лінії другого порядку. Діаметри, вісі, дотичні ліній другого порядку. Асимптотичні напрямки, асимптоти.

Метод координат у тривимірному просторі

Афінна та декартова системи координат у просторі. Ділення відрізка в даному відношенні. Віддаль між двома точками. Векторний та мішаний добутки векторів та їх застосування.

Площини та прямі

Площина: різні способи задання площини, рівняння площини. Взаємне розташування площин. Пучок та в’язка площин. Різні способи задання прямої у просторі; рівняння прямої. Взаємне розташування двох прямих у просторі. Взаємне розташування прямої і площини. Кути між прямими, між прямою і площиною. Геометричний смисл знака многочлена Аx+By+Cz+D. Площина в прямокутній системі координат.

Випуклі многогранники

Випуклі многогранники. Теорема Ейлера. Правильні многогранники.

Вивчення поверхонь другого порядку канонічними рівняннями

Поверхні обертання, поверхні другого порядку. Еліпсоїд, гіперболоїди та параболоїди. Циліндричні та конічні поверхні другого порядку. Прямолінійні твірні гіперболоїдів та параболоїдів.

Афінний та евклідів n-вимірні простори

n-вимірний афінний простір. Ізоморфізм усіх n-вимірних афінних просторів. Пряма та площина в n-вимірному афінному просторі. N-вимірний евклідів простір.

Квадратичні форми і квадрики

Квадратичні форми, зведення їх до канонічного виду. Квадрики поверхні другого порядку. Дотична площина. Центр поверхні другого порядку. Діаметральна площина. Голововні напрямки. Властивості розв’язків характеристичного рівняння. Перетворення рівняння поверхні другого порядку.

Проективний простір

Поняття проективного простору. Однорідні афінні координати. Рівняння прямої на площині в однорідних координатах. Координати прямої на площині. Принцип двоїстості. Теорема Дезарга. Конфігурація Дезарга. Просте та складне відношення точок прямої. Проективні координати на прямій. Просте та складне відношення прямих пучка. Проективні форми. Координатне представлення проективної відповідності. Проективні координати на площині. Перетворення проективних координат. Аналітичне представлення проективних перетворень площини. Гармонічна четвірка точок. Повні чотиривершинник та чотирибічник. Інволюція. Поляра точки відносно лінії. Полюс лінії 2-го порядку. Теорема Паскаля та Бріаншона.

Геометричні побудови на площині

Система постулатів побудов за допомогою циркуля та лінійки. Основні задачі на побудову. Різні методи геометричних побудов на площині. Метод геометричних перетворень (Рухи). Методи подібності та гомотетії в геометричних побудовах. Алгебраїчний метод розв’язування задач на побудову. Приклади класичних задач на побудову, що не розв’язуються циркулем та лінійкою. Побудови Штейнера та Маскероні.

Методи зображень

Різні види проектування на площину: паралельне, ортогональне, центральне. Метод Монжа. Аксонометрія. Зображення плоских фігур. Зображення просторових фігур. Теорема Полька-Шварца. Побудова перерізів геометричних фігур. Побудова зображень і афінна система координат. Паралельна аксонометрія.

Основи геометрії

Геометрія до Евкліда. Начала Евкліда. Теорія паралельних прямих у Евкліда. Виникнення проблеми п’ятого постулату та невдалі спроби його доведення. Аксіоматичне обґрунтування геометрії. Система аксіом Гільберта (огляд). Аксіома паралельності. Абсолютна геометрія. Неевклідова геометрія паралельних. М.І.Лобачевський та його геометрія. Кут паралельності. Функція Лобачевського. Криві сталої кривини: коло, еквідістанта. Інтерпретації геометрії Лобачевського. Елементи сферичної геометрії. Еліптична геометрія Рімана.

Задача вимірювання геометричних величин

Вимірювання довжини. Вимірювання площ та об’ємів.

Лінії і поверхні в евклідовому просторі. Елементи топології

Неперервні відображення підмножин евклідового простору. Гомеоморфізм. Поняття кривої. Гладкі криві. Способи задання. Векторна функція скалярного аргументу. Дотична пряма до кривої. Стична площина кривої. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація кривої. Кривина і скрут кривої. Натуральні рівняння кривої. Поняття поверхні. Гладкі поверхні, способи задання. Дотична площина поверхні. Нормаль. Довжина дуги. Кут між кривими. Площа поверхні. Кривина кривої на поверхні. Теорема Меньє. Індикатриса Дюпена. Характеристичне рівняння поверхні. Повна та середня кривина. Внутрішня геометрія поверхні. Поняття про вигинання поверхні. Теореми Гауса. Дефект геодезичного трикутника.