Наукові основи шкільного курсу математики

Алгебра висловлень

Синтаксис і семантика мови алгебри висловлень. Висловлення. Формули, їхні види. Відношення рівносильності формул. Тавтології - закони логіки. Основна теорема про тавтології та її наслідки. Методи встановлення тавтології. Відношення логічного слідування в алгебрі висловлень. Теореми про логічне слідування. Правила Генцена. Функції алгебри висловлень. Повні системи істинностних функцій. Алгоритми побудови диз'юнктивної та кон'юнктивної нормальних і досконалих форм. Теорема про досконалі форми.

Числення висловлень (теорія L)

Алфавіт та формули числення висловлень. Аксіоматичні схеми. Формальне введення і доведення. Відношення вивідності формул та його властивості (метатеореми 1,2). Теорема дедукції (метатеорема 3) та її наслідки. Правила введення і видалення логічних операторів(метатеорема 5). Несуперечність теорії L (метатеорема 4). Незалежність теорії L-Повнота теорії L (метатеорема б). Адекватність алгебрі висловлень. Розв'язність теорії L.

Алгебра предикатів

Необхідність розширення алгебри висловлень. Предикат, логічна функція. Формули алгебри предикатів, їх класи фікація. Інтерпретації формул. Відношення рівносильності формул. Істинностні таблиці формул. Види формул. Логічне слідування в алгебрі предикатів. Застосування мови алгебри предикатів стосовно складання дефініцій, запису математичних положень, аналізу міркувань.

Елементи теорії алгоритмів.

Необхідність уточнення поняття алгоритму. Зведення алгоритму до обчислення функції. Обчислюванні функції. Алгоритми над словами. Нормальні алгоритми Маркова. Тезис Чьорча - Маркова. Машина Тюрінга як математична модель алгоритму. Тезис Чьорча - Тюрінга. Існування функцій, які не обчислюються за Тюрінгом.

Теорія ймовірностей та математична статистика

Предмет комбінаторики, правило суми і добутку. Упорядковані множини. Розміщення і перестановки без повторень. Комбінації (без повторень). Трикутник Паскаля. Елементи комбінаторики в ШКМ.

Розміщення, перестановки і комбінації з повтореннями. Формули включень та виключень.

Теорія ймовірностей. Предмет і метод теорії ймовірностей. Випадкові події. Динамічні та стахостичні закономірності. Вірогідні, неможливі та випадкові події. Простір елементарних подій. Звязок імовірнісних понять і понять теорії множин. Повна група несумісних рівноможливих випадкових подій.

Різні означення ймовірностей. Статистичне та класичне означення імовірності. Геометричні імовірності. Аксіоматичне означення ймовірностей подій.

Умовні імовірності. Незалежні події. Теорема множення залежних та незалежних подій. Формула повної імовірності. Теорема гіпотез та формули Байєса.

Послідовні незалежні випробування. Схема Бернуллі. Формула Бернуллі. Найімовірніше число успіхів. Теорема Пуассона.

Локальна теорема Муавра – Лапласа. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа. Імовірність відхилення відносної частоти від постійної імовірності в незалежних випробуваннях.

Випадкові величини та функції розподілу. Основні поняття. Властивості функції розподілу. Дискретні та неперервні випадкові величини.

Багатовимірні випадкові величини. Функція розподілу і щільність розподілу випадкового вектору. Властивості щільності імовірності. Незалежність випадкових величин. Композиція законів розподілу.

Числові характеристики дискретних випадкових величин. Числові характеристики неперервних випадкових величин.

Нормальний закон розподілу. Числові характеристики двовимірних випадкових величин. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі.

Елементи математичної статистики. Предмет та метод математичної статистики. Оцінка параметрів розподілу.

Кореляційний звязок між випадковими величинами. Регресія.

Найпростіші випадкові процеси. Поняття випадкового процесу. Ланцюги Маркова.