Сглаживание временных рядов

Сглаживание временного ряда, состоит в замене фактических уровней ряда расчетными значениями, которые имеют меньшую колеблемость, чем исходные данные. Соответствующее преобразование называется фильтрованием.

Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:

• Для выявления тенденции. Часто графическое изображение сглаженных значений временного ряда позволяет проследить тренд более четко.

• Для устранения аномальных наблюдений.

• Для непосредственного анализа и прогнозирования экономических показателей.

Сглаживания временных рядов можно осуществлять аналитическими или механическими методами.

Суть механических методов сглаживания заключается в следующем: берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания, и для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т.д.

Суть аналитических методов заключается в построении функции, график которой проходит между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний. Методы аналитического сглаживания рассмотрены ниже.

Для механического сглаживания временных рядов часто используются следующие методы:

• укрупнение временных интервалов;

• простой скользящей средней;

• взвешенной скользящей средней;

• экспоненциального сглаживания.

Простейшим  методом механического сглаживания является укрупнение временных интервалов. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в более крупные по продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней.

По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого суммирования уровней первоначальных рядов. Для других случаев рассчитывают средние величины укрупненных рядов (переменная средняя). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

Метод простой скользящей средней

Согласно этому методу для временного ряда определяется длина интервала сглаживания ( , как правило, нечетное т.е. ). Для первых m уровней временного ряда вычисляется их среднее арифметическое, и это значение принимается за уровень порядка ряда сглаженного ряда. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической величины и т.д.

Для вычисления сглаженных уровней ряда  применяется формула:

для ,

(9)

где   .

В результате этой процедуры получаются n-m+1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р-уровней ряда теряются, что является недостатком этого метода. Пример применения метода скользящей средней для временного ряда «Количество пятен на Солнце за месяц» [10] при приведен на рис.7-8. На графике сглаженного ряда отчетливо виден циклический характер изменения уровней ряда.

Рис.7. Динамика временного ряда «Количество пятен на Солнце за месяц» исходный ряд [10].

Рис.8. Динамика временного ряда. «Количество пятен на Солнце за месяц». Исходный и сглаженный ряды.