Метод взвешенной скользящей средней

Этот метод отличается от метода простой скользящей средней тем, что сглаживание внутри интервала производится не по прямой, а по кривой более высокого порядка, что обеспечивает более точное отображение тенденции временного ряда. Это достигается тем, что суммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами , рассчитанными по методу наименьших квадратов.

Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:

для ,

(10)

где   .

Если сглаживание производится с помощью полинома (многочлена) второго или третьего порядка, то веса берутся следующие:

для m=5 - веса (-3; 12; 17; 12; -3);

для m=7 - веса (-2; 3; 6; 7; 6; 3; -2) .

Особенности весов:

1) их величина симметрична относительно центрального члена;

2) сумма весов с учетом общего множителя равна 1 т.е.

.

Недостаток метода: первые и последние p наблюдений ряда остаются несглаженными.

Большой сложностью является проблема выбора ширины интервала m и степени полинома p. Их величина зависит от исходных уровней ряда и целей исследования.

Метод экспоненциального сглаживания.

Недостатком методов простой и взвешенной скользящей средней является невозможность сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных последних наблюдений является большой проблемой, в случае, если целью исследования является прогнозирование развития процесса.

Существуют методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.

Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда на момент времени t определяется по формуле:

,

(11)

где - сглаживающий параметр, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем .

Величину в формуле (10) можно представить в виде суммы фактического значения уровня и сглаженного значения предшествующего ему наблюдения , взятых с соответствующими весами. Процесс такого разложения можно продолжить для членов , и т.д. В результате получится следующее выражение:

(12)

Таким образом, сглаженное значение является взвешенной суммой всех предшествующих уровней ряда. Величина характеризует начало условия процесса.

Формулу (11) можно переписать короче через знак суммы:

,

(13)

где .

Сомножитель , стоящий перед в каждом слагаемом, является относительным весом, который определяет величину вклада соответствующего уровня ряда в общую сумму. Поскольку , то и , поэтому с увеличением значение уменьшается. Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение, т.е. от давности наблюдения (отсюда произошло название этого метода сглаживания).

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра и определение начального условия y₀. От численного значения параметра  зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

Задачу выбора параметра y₀, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии процесса в прошлом, то их среднее значение можно принять в качестве y_0, если таких сведений нет, то в качестве y₀ используют исходное (первое) значение наблюдения временного ряда y₁.