Автокорреляционная функция. Коррелограмма

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения  последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью индекса  корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Пусть задан временный ряд:  и пусть имеет место линейная корреляция между y_t и y_t-1. 

Определим коэффициент корреляции между рядами  у_t и  у_t-1.

Для этого воспользуемся следующей формулой для вычисления корреляции между величинами и

(14)

Полагая =  у_t-1 и =  у_t, , получим

,	(15)
где         . ,	(16)

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда 1-го порядка.

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции 2-го порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

,	(17)
где    ,	(18)

Порядок уровня ряда автокорреляции называется лагом.

Для формулы (14) лаг равен единице, для (16) –двум.

Коэффициент автокорреляции порядка  в общем случае вычисляют по формуле

(19)

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда (АКФ). Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1.

График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

АКФ и коррелограмма позволяют  определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. с их помощью можно выявить структуру ряда.

Коэффициент автокорреляции и АКФ целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической компоненты:

• ­если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию;

• ­если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции k -го порядка, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в k-моментов времени;

• ­если, ни один из коэффициентов не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений, относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических изменений и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис.1.в, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Аналитическое выравнивание временных рядов

Аналитическое выравнивание временного ряда – метод обработки временного ряда с целью устранения случайных колебаний, путем построения аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Т.е. аналитическая функция описывает трендовую составляющую временного ряда.

Аналитические методы выделения (оценки) тренда реализуются, как правило, с помощью метода наименьших квадратов, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная y_t, а в роли единственной объясняющей переменной - время t. Для нелинейных зависимостей необходима линеаризация.

Для описания процессов без предела роста (т.е. без видимого ограничения уровней ряда) служат функции, перечисленные в табл.2.

Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объемных показателей.

Таблица 2.

	Исходная функция
линейная
квадратичная
экспоненциальная
показательная
степенная
равносторонняя гипербола

Для описания процессов с пределом роста служат функции: кривая Джонсона, модифицированная экспонента и др.[7].

Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на один рубль произведенной продукции и т.п.).

Для описания процессов третьего типа - с пределом роста и точкой перегиба используются кинетическая кривая (кривая Перла - Рида) и кривая Гомперца [7].

Такой тип развития характерен для спроса на некоторые новые товары.

Математические методы позволяют представить прогнозирующую модель в виде полинома любого порядка. Однако без необходимости использование полиномов высокого порядка представляется излишним.

Выбор функции тренда можно провести несколькими способами. Простейшим способом является визуальный, при котором вид функции определяется с помощью вида графика зависимости уровня ряда –y_t от времени t.

Другим способом является анализ показателей роста и прироста (табл.1). Если первые разности примерно одинаковы, то целесообразно использовать линейную функцию для описания тенденции. Если примерно равны вторые разности или абсолютное ускорение , то используем квадратичную функцию. Если примерно постоянен коэффициент роста для t-го периода: то можно использовать экспоненциальную или степенную функции.