- •Гаврилов в.Л. Функции нескольких переменных
- •Евклидово -мерное пространство
- •Окрестности. Области
- •Функции нескольких переменных
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Решение задач
- •Вопросы для самопроверки по теме 8.1
- •Тесты для самопроверки по теме 8.1
- •Ответы на тесты по теме 8.1
- •8.2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •Полный дифференциал
- •Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная
- •Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала
- •Тогда функция
- •Дифференцирование неявных функций
- •В нашем случае
- •Частные производные высших порядков
- •Полные дифференциалы высших порядков
- •Рассмотрим функцию
- •Аналогично предыдущему можно показать, что
- •Решение задач
Гаврилов в.Л. Функции нескольких переменных
При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:
Евклидово -мерное пространство.
Окрестности. Области.
Функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных.
После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тесты. При возникновениии вопросов следует обратиться к [6], глава 1, с. 3-11.
Евклидово -мерное пространство
При изучении функций одной переменной было использовано взаимно- однозначное соответствие между множеством вещественных чисел и множеством точек числовой оси, что позволяло отождествить понятия «точка на числовой оси» и «вещественное число ». При введении прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством упорядоченных пар чисел и множеством точек плоскости, между множеством упорядоченных троек чисел и множеством точек трехмерного пространства. Это дает нам право говорить о паре чисел - как о точке плоскости и о тройке чисел - как о точке пространства.
По аналогии с предыдущим введем следующие определения.
Определение. Множество всевозможных упорядоченных систем вещественных чисел вида называется -мерным пространством (или пространством измерений), а каждая система чисел - точкой этого пространства.
Иногда это пространство называют арифметическим или координатным -мерным пространством.
Точку -мерного пространства будем обозначать одной буквой, например, а числа будем называть координатами точки.
Точку назовем нулевой точкой пространства.
Расстояние между двумя точками и -мерного пространства определим с помощью формулы
(8.1)
При пространство измерений превращается соответственно в прямую, плоскость и обычное трехмерное пространство, а из равенства (8.1) при этих условиях получаются хорошо известные формулы для расстояний между двумя точками на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
Определение. Пространство измерений, в котором расстояние между двумя точками определено формулой (8.1), называется - мерным евклидовым пространством и обозначается символом
Окрестности. Области
Пусть дана некоторая фиксированная точка и некоторое положительное число .
Определение. Множество точек пространства удаленных от точки меньше чем на , называется -окрестностью точки и обозначается
Т аким образом, если
При т.е. в случае прямой, имеем и данное определение совпадает с введенным ранее для функции одной переменной: - множество точек прямой, удовлетворяющих условию то есть открытый промежуток длины с серединой в точке .
П ри т.е. в случае плоскости, имеем - окрестность точки представляет множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют условию
или
Геометрически - это множество точек, лежащих внутри окружности радиуса с центром в точке (открытый круг) (рис. 8.1).
Для точки трехмерного пространства - это множество точек пространства, лежащих внутри сферы радиуса с центром в точке (открытый шар).
По аналогии, множество точек - мерного пространства для которых называют - мерным открытым шаром с радиусом и центром в точке Для - мерного пространства - открытый шар.
Множество точек для которых называют - мерным замкнутым шаром (иногда просто шаром) с радиусом и центром в точке .
Точки пространства определяемые упорядоченным набором вещественных чисел, называют конечными точками этого пространства. Кроме конечных точек в введем бесконечную точку, обозначив ее или . Эту точку введем с помощью определения ее - окрестности.
Определение. Множество точек пространства , удаленных от нулевой точки более чем на , называется - окрестностью точки и обозначается
Точка если На прямой, то есть при - множество точек для которых и мы приходим к определению - окрестности точки на оси .
На плоскости условие принимает вид
или
то есть - окрестностью бесконечной точки на плоскости будет множество точек, лежащих вне окружности радиуса с центром в начале координат (рис.8.2).
В пространстве ( - множество точек пространства, лежащих вне сферы радиуса с центром в точке 0(0,0,0).
Понятие используем для введения других определений.
Определение. Точка называется внутренней точкой множества если она принадлежит множеству вместе с некоторой своей - окрестностью.
Из определения следует, что, если внутренняя точка множества , то существует такое, что .
Определение. Точка называется граничной точкой множества если любая - окрестность точки содержит как точки принадлежащие, так и точки не принадлежащие .
Сама граничная точка может принадлежать или не принадлежать множеству .
Определение. Множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои внутренние и граничные точки; множество всех граничных точек множества называется его границей и обозначается .
Определение. Множество точек пространства , координаты которых заданы как непрерывные функции параметра называется непрерывной кривой в пространстве .
О пределение. Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.
Определение. Окрестностью точки называется любое открытое связное множество точек , содержащее саму точку .
Часто между и не делают различия, так как если существует , то она и является , если же существует , то всегда можно подобрать такое , что
Определение. Множество называется ограниченным, если существует - мерный шар радиуса с центром в нулевой точке 0(0,0,...,0) такой, что В противном случае множество называется неограниченным.
Определение. Множество называется открытой областью, если оно а) открытое и б) связное.
Определение. Замкнутой областью называется множество, которое получается в результате присоединения к открытой области всей ее границы:
Замечание. Часто применяют и более общий термин - область, понимая под этим и открытую, и замкнутую области, а также множество, получающееся в результате присоединения к открытой области части ее границы.
Приведем несколько примеров.
Рассмотрим множество точек плоскости координаты которых удовлетворяют условию Точки этого множества заполняют первый и третий квадранты плоскости , исключая оси координат (рис. 8.3). Это неограниченное открытое множество. Областью множество не будет, так как оно не является связным; действительно, точки и нельзя соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей (начало координат множеству не принадлежит).
Пусть множество - множество точек, координаты которых удовлетворяют условию . Это ограниченная замкнутая область в пространстве .