- •Гаврилов в.Л. Функции нескольких переменных
- •Евклидово -мерное пространство
- •Окрестности. Области
- •Функции нескольких переменных
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Решение задач
- •Вопросы для самопроверки по теме 8.1
- •Тесты для самопроверки по теме 8.1
- •Ответы на тесты по теме 8.1
- •8.2. Дифференцирование функций нескольких переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •Полный дифференциал
- •Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная
- •Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала
- •Тогда функция
- •Дифференцирование неявных функций
- •В нашем случае
- •Частные производные высших порядков
- •Полные дифференциалы высших порядков
- •Рассмотрим функцию
- •Аналогично предыдущему можно показать, что
- •Решение задач
Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная
Определение. Функция нескольких переменных называется сложной, если сами аргументы - функции одной или нескольких переменных.
Пусть, например, - функция от переменных и , где
- функции аргумента . Тогда сложная функция от может быть записана так:
и продифференцирована как функция одной переменной.
Если функция дифференцируемая в точке , а функции и дифференцируемы при соответствующем значении , то имеет место формула
(8.14)
Пример. Найти если где а
Решение. Находим
Подставляя найденные выражения в (8.14), получаем
Аналогично рассмотренному выше решается вопрос о производной когда функция задается как дифференцируемая функция любого числа переменных, каждая из которых, в свою очередь, есть дифференцируемая функция переменной .
Так, если где и то
(8.15)
Рассмотрим случай, когда независимая переменная явно входит в выражение функции. Пусть
где по-прежнему
Распространяя формулу (8.15) на случай функции четырех аргументов запишем
или
(8.16)
Производную в формуле (8.16) называют полной производной, в отличие от частной производной
Пример. Найти частную производную , и полную производную функции где
Решение. Найдем сначала частную производную считая и постоянными:
Так как функция зависит от как непосредственно, так и через то для вычисления полной производной воспользуемся формулой (8.16).
Находим
Подставляя в формулу (8.16), получаем
или
Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала
Пусть и
то есть являются функциями двух переменных и
Тогда функция
будет сложной функцией от и .
Если одной из переменных, скажем, , придается какое-либо постоянное значение, то становится функцией (сложной) только переменной , и ее производная по этой переменной (в данном случае, частная производная) вычисляется по формуле (8.14), но с заменой всех простых производных частными
(8.17)
Так же вычисляется частная производная
(8.18)
С помощью аналогичных рассуждений легко получить формулы для сложных функций произвольного числа переменных.
Дифференциал функции одной переменной обладает свойством инвариантности формы: она остается одной и той же вне зависимости от того, будет ли аргумент независимой переменной или некоторой дифференцируемой функцией другой переменной.
Это свойство инвариантности формы дифференциала, играющее важную роль в ряде вопросов математического анализа, справедливо и для функций нескольких переменных.
Дифференцирование неявных функций
Определение. Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением вида
связывающим и , но не разрешенным относительно .
Однако не всякое уравнение вида определяет неявную функцию. Например, уравнение никакой функции не определяет, так как для любых значений и .
Возникает задача о нахождении условий, накладываемых на функцию двух переменных при которых уравнение определяет неявную функцию .
Достаточные условия существования, единственности и дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в окрестности точки и имеет там непрерывные частные производные и , причем , а
Тогда существует некоторая окрестность точки , в которой:
уравнение определяет единственную непрерывную функцию ;
при эта функция принимает значение
функция непрерывна и имеет непрерывную производную.
Геометрически это означает, что существует окрестность точки в которой кривая, заданная уравнением представляет собой график непрерывной и непрерывно-дифференцируемой функции проходящий через точку .
Производную при этом можно найти по формуле
(8.19)
Пример. Функция задана уравнением Найти
Решение. В условиях задачи уже предполагается, что данное уравнение определяет неявную дифференцируемую функцию . (Студент самостоятельно может проверить выполнение условий приведенной выше теоремы, например в окрестности точки ). Остается только воспользоваться формулой (8.19).