Вопросы для самопроверки по теме 8.1

1. Дайте определение -мерного евклидова пространства.

2. Дайте определение -окрестности точки. Приведите примеры -окрестности точки на плоскости и в пространстве.

3. Дайте определение внутренней и граничной точки множества.

4. Дайте определение открытой и замкнутой области.

5. Приведите примеры ограниченной замкнутой области на плоскости и в пространстве.

6. Дайте определение функции переменных.

7. Дайте определение предела функции в точке . Когда предел называется конечным?

8. Дайте определение непрерывности функции в точке.

9. Вспомните свойства непрерывных функций одной переменной. Сформулируйте эти свойства для функций нескольких переменных.

Тесты для самопроверки по теме 8.1

1. Значение функции в точке равно

а) б) в) г)

2. Область задана системой неравенств Точка будет для области

а) внутренней; б) граничной; в) внешней.

3. Точка для области определения функции будет

а) внутренней; б) граничной; в) внешней.

4. Функция на множестве

а) ограничена сверху, но не ограничена снизу;

б) ограничена снизу, но не ограничена сверху;

в) ограничена;

г) не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Функция

а) непрерывна; б) имеет одну точку разрыва;

в) имеет две точки разрыва; г) имеет линии разрыва.

Ответы на тесты по теме 8.1

1-б; 2-б; 3-в; 4-б; 5-г.

8.2. Дифференцирование функций нескольких переменных

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

• Частные производные.

• Дифференцируемость функций нескольких переменных.

• Полный дифференциал.

• Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная.

• Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала.

• Дифференцирование неявных функций.

• Частные производные высших порядков.

• Полные дифференциалы высших порядков.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки и решить тест. При возникновениии вопросов следует обратиться к [6], глава 2, с.13-31.

Студентам очно-заочной и заочной форм обучения надо решить две задачи в соответствии со своим вариантом из № 171-180 и 181-190.

Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных Будем считать, что она определена и непрерывна в некоторой окрестности точки Придадим аргументу постоянное значение Тогда функция будет функцией одного переменного . Зададим фиксированному значению произвольное приращение , но такое, чтобы При этом функция получит приращение

которое называется частным приращением по переменной в точке .

Определение. Если при отношение стремится к конечному или бесконечному пределу, то этот предел называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается

Итак, по определению,

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение и частная производная функции по переменной в точке

Частные производные называются конечными или бесконечными в зависимости от того, конечен (равен числу) или бесконечен соответствующий предел.

Значение частной производной зависит от точки в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных вообще говоря, есть функция точки то есть является функцией двух переменных и . Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются одним из следующих символов:

или ; или

Все, сказанное о частных производных функции двух переменных с надлежащими изменениями, распространяется и на функции любого числа переменных.

Так как при отыскании частных производных функций нескольких переменных все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, считаются постоянными (фиксированными), то правила и формулы дифференцирования функций одной переменной остаются в силе и при отыскании частных производных функций нескольких переменных.

Пример 1. Найти частные производные функции

.

Решение. Заданная функция есть функция двух переменных и . При дифференцировании по , то есть при нахождении полагаем, что Поэтому

Аналогично

Пример 2. Найти частную производную функции по переменной в точке

Решение. При дифференцировании по переменной считая и имеем

Теперь находим значение частной производной в точке

Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

П усть функция задана в некоторой области и ее геометрическим образом служит поверхность (рис. 8.8).

Возьмем точку . При функция будет функцией одной переменной Графиком этой функции будет кривая полученная при пересечении поверхности плоскостью

Если при существует касательная к кривой (лежащая в плоскости ), то тангенс угла наклона этой касательной (к оси ) и будет численно равен значению в точке . В этом и заключается геометрический смысл частной производной по переменной .

Аналогично выясняется геометрический смысл частной производной по переменной .