69

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту

Запорізький національний технічний університет

Чисельні методи

Частина 4

Методичні вказівки до лабораторних робіт

Для студентів денної форми навчання

спеціальності 6.040303 - Системний аналіз

2012

Чисельні методи. Частина 4. Методичні вказівки до лабораторних робіт. Для студентів денної форми навчання спеціальності 6.040303 – Системний аналіз. / Укл.: Біла Н.І., Денисенко О.І., Подковаліхіна О.О. - Запоріжжя: ЗНТУ, 2012. – 90 с.

Містить теоретичні відомості, приклади, задачі для самостійного розв'язання, завдання до лабораторних робот з курсу “Чисельні методи ” за темою "Чисельні методи розв’язання задач математичної фізики".

Укладачі: Біла Н. І. доцент,

Денисенко О.І., доцент,

Подковаліхіна О.О., доцент.

Рецензенти: Пінчук В. П., доцент

Вишневська В.Г., доцент.

Відповідальний за випуск Корніч Г. В., зав. кафедрою, професор

Затверджено на засіданні кафедри

Системного аналізу та

обчислювальної математики,

протокол № 6 від 28.02.2012

зміст

2 Метод сіток розв'язання еліптичниз рівнянь

2.1 Метод сіток – постановка задачі

2.2 Побудова сітки й апроксимація рівняння

2.3 Вирішення системи алгебраїчних рівнянь

2.4 Погрішність вирішення й збіжність

2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці

2.6 Завдання до лабораторної роботи

2.7 Контрольні питання

3 Метод сіток розв'язку початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу

3.1 Постановка задачі

3.2 Явна різницева схема

3.3 Неявна різницева схема

3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона

3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці

3.6 Завдання до лабораторної роботи

3.7 Контрольні питання

4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь

4.1 Постановка задачі

4.2 Явна схема

4.3 Неявна схема

4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці

4.5 Завдання до лабораторної роботи

4.6 Контрольні питання

5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь

5.1 Загальні відомості про інтегральні рівняння

5.2 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних

рівнянь Фредгольма

5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь

Фредгольма

5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра

5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних

рівнянь Вольтерра

5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь

Вольтерра

5.7 Завдання до лабораторної роботи

5.8 Контрольні питання

1 Пакет pde Tools решения задач для уравнений в частных производных

1.1. Рівняння математичної фізики

Рівняння із частинними похідними описують багато фізичних процесів у таких галузях, як механіка суцільних середовищ, термодинаміка, квантова механіка, електродинаміка, теорія пружності та т.і. Тому розділ математики, що вивчає властивості можливих розв’язків рівнянь з частинними похідними, називається математичною фізикою, а самі рівняння називають рівняннями математичної фізики.

Аналітичний розв’язок рівнянь із частинними похідними вдається отримати лише в окремих випадках, і тому значення чисельних методів для розв’язання задач, які описуються за допомогою цих рівнянь, дуже важливе.

Задача називається стаціонарною, якщо її розв’язок не залежить від часу, і нестаціонарною – якщо така залежність існує. Задачі з однією просторовою змінною називаються одновимірною, з двома змінними – двовимірними.

Чтобы поставить задачу математической физики, необходимо вывести дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее рассматриваемый физический процесс, начальные и краевые условия. Начальные условия ставятся для уравнений, содержащих частные производные по времени (уравнения описывают нестационарные физические процессы). Краевые (граничные) условия ставятся для уравнений, описывающих физические процессы в ограниченных областях.

Задачи математической физики, содержащие начальные и краевые условия, называются начально-краевыми; задачи, содержащие только граничные условия – краевыми, а задачи, содержащие только начальные условия – задачами Коши.

Линейным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида

, В или 2В (1.1)

где заданные функции переменных , причем функции дважды непрерывно дифференцируемы и не равны нулю одновременно.

Типы линейных уравнений:

1. Параболический тип. Уравнения параболического типа описывают процессы теплопроводности и диффузии и определяются условием

.

2. Гиперболический тип. Уравнения гиперболического типа описывают колебательные системы и волновые движения и определяются условием

.

3. Эллиптический тип. Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся процессы и определяются условием

.

Рівняння параболічного типу.

До рівнянь параболічного типу належать рівняння теплопровідності чи дифузії виду

, (1.2)

де – коефіцієнт теплопровідності (якщо – температура) і масо-перенесення (якщо – концентрація, тиск у задачах фільтрації). Оскільки рівняння містить похідну за часом, для його розв’язання необхідно додатково задавати як початкові (для ), так і граничні умови (для ).

Для рівняння теплопровідності за граничних умов

,

(1.3)

і початкової умови

(1.4)

маємо першу мішану крайову задачу, інакше задачу Коші з початковими умовами. Функции задают температуру на границах .

Рівняння теплопровідності за граничних умов

,

(1.5)

і початкової умови (1.4) визначають другу мішану крайову задачу. В этом случае на границах заданы тепловые потоки.

Рівняння теплопровідності за граничних умов

,

(1.6)

і початкової умови (1.4) визначають третю мішану крайову задачу. Граничные условия задают теплообмен между газообразной или жидкой средой с известными температурами на границе и на границе и границами расчетной области с неизвестными температурами . Коэффициенты – известные коэффициенты теплообмена между газообразной или жидкой средой и соответствующей границей.

Рівняння гіперболічного типу.

Прикладом рівняння гіперболічного типу є хвильове рівняння

, (1.7)

що описує малі подовжні коливання стрижня і поперечні коливання струни, де – відхилення від положення рівноваги і – швидкість розповсюдження збурення. Хвильове рівняння описує процес розповсюдження малих акустичних коливань.

Початкові умови для хвильового рівняння мають такий вигляд:

. (1.8)

В задачах для волнового уравнения, кроме начального распределения искомой функции, задается еще распределение начальной скорости перемещения.

Граничні умови першого, другого і третього родів для хвильового рівняння задаються виразами (1.3), (1.5), (1.6). В условиях (1.3) функции описывают законы, по которым движутся концы стержня (если , то концы стержня жестко закреплены). В условиях (1.5) на концах стержня заданы значения силы, которая по закону Гука пропорциональна значениям производной перемещения по пространственной переменной (если , то концы стержня свободны). В условиях (1.6) на концевые заделки действуют силы, пропорциональные перемещениям, т.е. концы закреплены упруго.

Рівняння еліптичного типу.

Прикладом рівнянь еліптичного типу є рівняння Лапласа:

, (1.9)

чи рівняння Пуассона:

. (1.10)

Ці рівняння описують потік ідеальної рідини в стаціонарних потоках, стаціонарний розподіл температури або напруженості електричних чи магнітних полів. Рівняння Лапласа описує ці процеси у разі відсутності джерел енергії чи стоків, а рівняння Пуассона – ті ж самі процеси за наявності розподілених в області джерел, що задаються правою частиною рівняння – .

Оскільки рівняння Лапласа і Пуассона – стаціонарні, то в постановці задачі задаються тільки граничні умови. Залежно від граничних умов маємо:

• першу крайову задачу для рівняння Лапласа (задача Діріхле):

(1.11)

• другу крайову задачу для рівняння Лапласа (задача Неймана):

(1.12)

• третю крайову задачу для рівняння Лапласа:

. (1.13)

При цьому в другій і третій крайових задачах похідні слід обчислювати у напрямку зовнішньої нормалі відносно області .