1.3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.1. Докажите, что функция является решением уравнения Лапласа.

Задача 1.2. Докажите, что функция является решением уравнения Лапласа для каждого целого положительного .

Задача 1.3. Пусть функция имеет вид

.

а) найти соотношения между коэффициентами, которые гарантируют выполнение уравнения

;

б) найти соотношения между коэффициентами, которые гарантируют выполнение уравнения

;

в) найти коэффициенты функции, которые удовлетворяют уравнению Лапласа и граничным условиям и ;

г) найти коэффициенты функции, которые удовлетворяют уравнению и граничным условиям и .

1.4 Задание к лабораторной работе

Варианты 1-8. Используя пакет MatLab PDETools, решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области размера , с граничными условиями, приведенными в таблице 1.1, используя пакет PDE Tools MATLAB.

Таблица 1.1 - Варианты индивидуальных заданий

параметры	варианты
	1	2	3	4
, мм	24	25	60	30
, мм	10	15	48	20
, °С	20		80
, °С		85		95
, °С	100		0
, °С		25		15

параметры	варианты
	5	6	7	8
, мм	25	24	40	36
, мм	15	10	64	20
, °С		75		60
, °С	10		115
, °С		0		120
, °С	80		35

Варианты 9-14: На подложке интегральной микросхемы располагается кристалл планарного биполярного транзистора (см. рис.1.7). Для описания распределения температуры в структуре используется уравнение Лапласа:

.

Подложка прямоугольной формы имеет размеры A × B. Предполагается, что транзистор в объеме и на своей геометрической границе имеет температуру .

Рисунок 1.7 – Геометрия подложки

Требуется определить распределение температуры по всей подложке. Размеры транзистора – 0,6 × 0,6 мм. Граничные условия, а также размеры A и B, a и b указаны в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

Параметр	Вариант
	9	10	11	12	13	14
А, мм	8	6	24	12	7	4
В, мм	5	5	10	10	5	6
, мм	2	3	7	4	2,5	1,5
, мм	2	2	4	6	1,5	3
	100	120	110	120	110	90
	0	0	20	10	25	30
	0	10	20	20	45	20
	0	20	20	10	25	30
	0	10	20	0	15	55

Варианты 15-20. Прямоугольная металлическая пластина с вырезом (рис. 1.8) используется как теплоотводящий элемент. В угловом вырезе пластины (границы Г2 и Г3) расположен источник тепла. Распределение температуры T(x,y) по площади пластины описывается уравнением Лапласа. Найдите распределение T(x,y). Размеры A, B, C и граничные условия даны в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Параметр	Вариант
	15	16	17	18	19	20
A, мм	200	180	120	150	100	210
B, мм	45	55	55	75	85	110
C, мм	65	70	55	45	70	80
	30	35	29	28	35	40
	60	65	60	70	65	0,29
	60	65	60	70	65	0,29
	30	35	29	28	35	40
	20	25	20	25	20	25
	20	25	20	25	20	25

Рисунок 1.8 – Геометрия теплоотводящего элемента

5. Контрольные вопросы

1. Приведите классификацию ДУЧП.

2. Какого вида граничные условия используются в задачах с ДУЧП?

3. Какие задачи можно решать с помощью пакета PDE Tools?

4. Какие процессы описываются уравнениями параболического типа?

5. Какие процессы описываются уравнениями гиперболического типа? Сколько начальных условий необходимо задать в краевой задаче для таких уравнений?

6. Какие процессы описываются уравнениями эллиптического типа?

7. Каким методом решаются задачи в пакете PDE Tools?

8. Из каких геометрических примитивов можно строить область в пакете PDE Tools?

9. Какие способы визуализации решений вы знаете?

10. Для каких задач имеет смысл строить анимацию?