- •Чисельні методи
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •1 Пакет pde Tools решения задач для уравнений в частных производных
- •1.2. Выполнение расчетов в пакете matlab
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2 Метод сіток розв'яЗання еліптичних рівнянь
- •2.1 Метод сіток – постановка задачі
- •2.2 Побудова сітки й апроксимація рівняння
- •2.4 Погрішність вирішення й збіжність
- •2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці
- •2.6. Завдання до лабораторної роботи
- •3 Метод сіток
- •3.1 Постановка задачі
- •3.2 Явна різницева схема
- •3.3 Неявна різницева схема
- •3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона
- •3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •3.7 Контрольні питання
- •4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь
- •4.1 Постановка задачі
- •Явна схема
- •4.3 Неявна схема
- •4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •4.6 Контрольні питання
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •5.1 Загальні відомості про інтегральні рівняння
- •5.2 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра
- •5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.7 Завдання до лабораторної роботи
- •5.8 Контрольні питання
- •6 Література
4.3 Неявна схема
Розглянемо неявну дев'яти точкову схему з ваговими коефіцієнтами й запишемо відповідне різницеве рівняння:
Після перетворень та вразовуючи граничні умови, отримуємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного часового шару, починаючи з третього:
Значення розв'язку на перших двох шарах обчислюємо з початкових умов та за формулою (4.4). Систему можно розв'язувати методом прогону, який буде стійким, тому що має місце діагональна перевага.
Зазвичай обирають . Тоді схема є абсолютно стійкою. Коли схема перетворюється у схему хрест, а умова стійкості на умову .
4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці
Задача 4.1. Знайти розв'язок крайової задачі для рівняння
, ,
с початковими умовами: ,
і граничними умовами: , .
Завдання до лабораторної роботи
Завдання 4.1. Використовуючи метод сіток, розв'язати змішану задачу для рівняння коливання струни з початковими умовами , , , і крайовими умовами , . Розв'язок виконати із кроком ; . Знайти наближений розв'язок задачі за допомогою явної різницевої схеми. Виконати розрахунки з половинним кроком за часом і довжині струни й оцінити точність отриманого розв'язку.
Завдання 4.2. Знайти наближений розв'язок задачі завдання 4.1 за допомогою неявної різницевої схеми. Порівняти отримані результати.
Варіанти індивідуальних завдань
1. , , , . |
2. , , , . |
3. , , |
4. , ,
|
5. ,
|
6. , , |
7. , , |
8. , , |
9. , , |
10.
, |
11.
, |
12. ,
, |
13. , , , |
14. , , |
15. , , |
16. , , . |
17. , , ,
|
18. , , ,
|
19. , ,
|
20. , , , . |
|
Завдання 4.3. Коливання тонкої пластини, якщо не враховувати втрати на тертя, описуються нормованим хвильовим рівнянням виду: , де – деформація пластини, – координати, – час. Розрахуйте коливання при заданих у таблиці розмірах і , граничних , , , і початкових і умовах. Використовувати PDE Tools пакета MATLAB.
Варіанти індивідуальних завдань
Параметр |
Варіант |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
, см |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
, см |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
Граничні умови |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Рисунок 4.7 – Область розв'язку завдання 4.3