1.2. Выполнение расчетов в пакете matlab

Пакет MATLAB содержит приложение PDE Toolbox (от англ. Partial Differential Equation – дифференциальное уравнение в частных производных). Приложение обеспечивает решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов в двухмерной постановке. Оно включает графический интерфейс; инструменты задания формы уравнений и граничных условий; процедуру автоматической генерации сетки конечных элементов; средства для визуализации полученного решения и его анимации. PDE Toolbox использует проекционную формулировку метода конечных элементов.

PDE Toolbox представляет собой набор специальных функций, написанных на языке MATLAB. Особое место среди всех функций PDE Toolbox занимают pdetool и pdeinit. При вызове этих функций из рабочего окна MATLAB разворачивается графический интерфейс, обеспечивающий решение задачи.

Пример 1.1. Решить задачу о ламинарном установившемся движении вязкой жидкости по призматическому каналу (рис.1.1). Канал имеет свободную поверхность и зазор между призматическими поверхностями. Характеристики канала: м, м, м, м. Движение жидкости описывается уравнением Пуассона:

,

где – продольная скорость, – градиент давления вдоль оси канала, – кинематическая вязкость. Граничные условия:

• условие прилипания на границе канала: ;

• условие отсутствия трения (если есть свободная поверхность): , где – нормаль к поверхности.

Решить задачу для случая, когда .

Рисунок 1.1 – Призматический канал

Решение.

1. Математическая постановка задачи (рис. 1.2):

Характеристики: , , , , .

Решить уравнение:

,

Граничные условия:

,

,

.

Рисунок 1.2 – Математическая постановка задачи

2. З а п у с к п р и л о ж е н и я PDE Toolbox приводит к появлению на экране окне графического интерфейса, изображённого на рис. 1.3. Для этого в командной строке набираем:

>> pdetool

В верхней части интерфейса располагается строка главного меню, включающего пункты "File", "Edit" и другие. Непосредственно под главным меню размещена панель, включающая инструменты PDETool, список видов задач "Application" и указатель значений координат x и y. Ниже расположены окно "Set formula" (ввод формулы) и собственно графическое окно для работы с изображением расчётной области. Внизу имеется информационная строка “Info” и кнопка "Exit" (выход).

3. Н а п е р в о м э т а п е решения необходимо сформировать исходную геометрию задачи в графическом окне интерфейса PDETool.

Изображения формируются с помощью команд пункта Draw (Рисовать) главного меню:

Draw Mode – переключение в режим ввода (прорисовки) геометрии;

Rectangle/square – ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его верхней левой вершины;

Rectangle/square (centered) – ввод прямоугольника или квадрата с помощью мыши начиная от его центра;

Ellipse/circle – ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от верхней левой точки;

Ellipse/circle (centered) – ввод эллипса или круга с помощью мыши начиная от центра;

Polygon – прорисовка многоугольника отрезками ломаной линии, пока она не станет замкнутой;

Rotate – поворот выделенных объектов вокруг некоторой точки;

Export Geometry Description, Set Formula, Labels… – экспорт в базовую рабочую область MATLAB переменных описания геометрии.

Для того, чтобы установить размерности области данной задачи, нужно в меню Option выбрать Axes Limits… В строке X-axis range набрать [0 10], в строке Y-axis range набрать [0 10] (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 – Область задачи

При помощи панели инструментов нужно нарисовать канал. Сначала рисуем эллипс с центром в точке (0,0) и полуосями 5 и 5. Для уточнения координат дважды щелкаем по эллипсу. В окне Object Dialog устанавливаем параметры (рис. 1.5):

X-center 5

Y-center 5

A-semiaxes 5

B-semiaxes 5.

Аналогично рисуем второй эллипс с центром в точке (7,3) и полуосями 1 и 1, и прямоугольник длины 10 и ширины 1. В строке Set formula набираем: E1-E2-R1 (рис. 1.6).

Если держать Ctrl, то нарисуется сразу круг, что нам и надо!

Рисунок 1.5 – Параметры объекта

Команды для редактирования изображения и настройки графического окна содержатся в следующих пунктах главного меню.

Edit (Правка) содержит команды:

Undo – отмена последнего действия;

Cut – вырезать выделенный геометрический объект и поместить его в буфер;

Copy – копировать выделенный объект в буфер;

Paste – вставить геометрический объект из буфера;

Clear – удалить выделенный объект;

Select All – выделить все геометрические объекты.

Рисунок 1.6 – Призматический канал

Options (Опции) содержит команды:

Grid – показать / скрыть координатную сетку;

Grid Spacing – установить пределы и шаг сетки;

Snap – округлять координаты указателя мыши;

Axes Limits – установить пределы координатных осей;

Axes Equal – установить одинаковый масштаб по осям x и y;

Zoom – показать с увеличением выделенную часть модели;

Application – переключение вида задачи;

Refresh – обновить изображение модели.

4. В т о р о й э т а п включает ввод граничных условий на граничных сегментах и параметров уравнения. Определить условие на любом из сегментов можно, выделив его двойным щелчком левой кнопки мыши. Соответствующие команды располагаются в разделах Boundary и PDE главного меню.

Boundary (Границы) содержит команды:

Boundary Mode – ввод граничных условий;

Specify Boundary Conditions… – ввод параметров граничных условий; Show Edge Labels – показать номера граничных сегментов;

Show Subdomain Labels – показать номера зон;

Remove Subdomain Border – удалить границу зон;

Remove All Subdomain Borders – удаление всех границ зон;

PDE (Уравнение) содержит команды:

PDE Mode – переключение в режим ввода параметров уравнения; Show Subdomain Labels – показать номера зон;

PDE Specification… – ввод параметров (коэффициентов) уравнения;

Export PDE Coefficients… – экспорт в базовую рабочую область переменных, описывающих PDE коэффициенты в расчётной области.

В меню Boundary выберем Boundary Mode. Два раза щелкаем по границе , в окне выбираем Dirihlet, (т.к. ). Для данной задачи граница будет состоять из четырех частей (рис. 1.7). Аналогично для границы . На границе выбираем Neumann, .

Рисунок 1.7 – Граничные условия

Зададим параметры уравнения эллиптического типа, вызвав через меню или панель инструментов диалоговое окно "PDE Specification". Выберем тип уравнения – "Elliptic". Зададим (рис. 1.8).

Если в списке "Application" установлен режим "Electrostatics" (задача электростатическая), то в окне MATLAB уравнение имеет вид

–div(ε×grad(ϕ))=ρ,

где ε − диэлектрическая проницаемость, ϕ − электрический потенциал, ρ − объемный заряд.

В том случае, когда установлен режим "Generic Scalar" в списке "Application" (задача в обобщенной скалярной форме), запись уравнения в MATLAB имеет вид

–div(c×grad(u))+a×u=f

Рисунок 1.8 – Параметры уравнения

5. Н а с л е д у ю щ е м э т а п е формируется сетка конечных элементов (рис. 1.8). PDE Toolbox поддерживает только симплекс-элементы, для которых характерны линейные функции формы.

Пункт Mesh (Сетка) главного меню включает следующие команды для работы с сеткой:

Mesh Mode – переключение в режим построения сетки;

Initialize Mesh – генерация сетки; Refine Mesh – сгущение сетки;

Jiggle Mesh – регуляризация сетки в пределах установленной величины;

Undo Mesh Change – отменить последнее изменение сетки;

Display Triangle Quality – отобразить в цвете показатель регулярности конечных элементов;

Show Node Labels – показать номера узлов;

Show Triangle Labels – показать номера конечных элементов; Parameters… – установить параметры генератора сетки;

Export Mesh – экспорт сетки в базовую рабочую область.

6. С л е д у ю щ и й э т а п включает собственно решение задачи и его вывод в графическом виде (рис. 1.9). Соответствующие команды располагаются в пунктах Solve и Plot главного меню.

Solve (Решение) содержит команды:

Solve PDE – решить краевую задачу;

Parameters… – установить параметры решателя;

Export Solution… – экспорт решения в базовую рабочую область.

Для получения изолиний в меню Plot выбираем Parameters… ,где выбираем Contour.

Рисунок 1.8 - Формирование сетки

Рисунок 1.9 - Распределение эквипотенциальных линий

Результаты расчета можно сохранить, обратившись к пункту File (Файл) меню, включающему команды: New – создать новую модель; Open… – открыть ранее сохранённую в m-файле модель; Save – сохранение модели в m-файле с текущим именем; Save As… – сохранение модели в m-файле; Print… – печать рисунка.