- •Чисельні методи
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •1 Пакет pde Tools решения задач для уравнений в частных производных
- •1.2. Выполнение расчетов в пакете matlab
- •1.3 Задачи для самостоятельного решения
- •2 Метод сіток розв'яЗання еліптичних рівнянь
- •2.1 Метод сіток – постановка задачі
- •2.2 Побудова сітки й апроксимація рівняння
- •2.4 Погрішність вирішення й збіжність
- •2.5 Задача для самостійного вирішення на практиці
- •2.6. Завдання до лабораторної роботи
- •3 Метод сіток
- •3.1 Постановка задачі
- •3.2 Явна різницева схема
- •3.3 Неявна різницева схема
- •3.4 Різницеві схеми підвищеної точності. Схема Кранка-Нікольсона
- •3.5 Задачі для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •3.7 Контрольні питання
- •4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь
- •4.1 Постановка задачі
- •Явна схема
- •4.3 Неявна схема
- •4.4 Задача для самостійного розв'язку на практиці
- •Завдання до лабораторної роботи
- •4.6 Контрольні питання
- •5 Методи розв'язку інтегральних рівнянь
- •5.1 Загальні відомості про інтегральні рівняння
- •5.2 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.3 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма
- •5.4 Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра
- •5.5 Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.6 Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра
- •5.7 Завдання до лабораторної роботи
- •5.8 Контрольні питання
- •6 Література
3.7 Контрольні питання
Якого виду граничні умови використовуються в задачах параболічного типу?
Які види шаблонів використовуються в методі сіток у задачах параболічного типу? Яким чином будують на цих сітках різницеві апроксимації?
Опишіть метод прогону і його роль у розв'язку задач із ДРЧП.
З яких міркувань вибирають крок сітки в методі сіток?
У яких випадках може виникати нестійкість розв'язку задачі? Як впливає вибір параметрів сітки на стійкість?
Що розуміють під збіжністю процесу розв'язку задачі?
Що таке різницеві схеми підвищеної точності і які шаблони при цьому використовуються?
Як можна одержати апостеріорні оцінки погрішності отриманого розв'язку та уточнити розв'язок?
4 Метод сіток розв'язку крайових задач для хвильових рівнянь
4.1 Постановка задачі
Р озглянемо задачу поздовжніх коливань тонкого однорідного стрижня довжиною , коли його деформація залежить тільки від поздовжньої ( уздовж осі стрижня) координати й часу (рис. 6.1).
Рисунок 4.1 - Модель стрижня
Коливання стрижня описуються диференціальним рівнянням:
, (4.1)
де , і – модуль пружності й щільності матеріалу стрижня
с початковими умовами:
,
і граничними умовами:
, .
Для розв'язку задачі методом кінцевих різниць побудуємо прямокутну сітку (мал. 6.2), вузли якої визначаються формулами: , , , .
Значення на лівій, правій і нижній сторонах сітки відомі з початкових і граничних умов.
Р исунок 4.2 - Просторово-часова сітка й шаблон, що використовуються для рішення рівнянь гіперболічного типу
Явна схема
Замінимо частинні похідні в рівнянні (4.1) їх кінцево-різницевими апроксимаціями й підставимо їх у рівняння коливання. Одержимо:
Тут використовується п’яти точковий шаблон, представлений на рис. 4.2.
Отримане рівняння дозволяє виразити значення функції в момент часу через значення функції в попередні моменти часу:
.
Позначимо , приведемо подібні в останьому рівнянні і отримаємо розрахункову формулу для явної схеми:
(4.2)
У якості граничних умов по можуть використовуватися будь-які умови, що описують спосіб закріплення стрижня. Наприклад, тверде закріплення припускає нульове зрушення на кінцях стрижня. Це відповідає умові , . За часом у якості початкових умов задамо при вхідну деформацію стрижня й початкову швидкість його коливань , .
Алгоритм обчислень за явною схемою реалізується наступною послідовністю дій.
Визначимо деформацію стрижня в моменти й . Для деформація відома з початкових умов . Для наступного моменту часу деформацію визначимо за допомогою другої початкової умови, що задає швидкість при :
, тоді , отже
(4.3)
Погрішність формули (4.3) .
Для одержання розв'язку при використовуємо формулу (4.2).
Схема (4.2)-(4.3) дає порядок апроксимації . Але порядок апроксимаціїї можна збільшити. Для цього введемо фіктивний часовий шар з вузлами , що лежатиме за межами області сітки. Значення сіткової функції на цьому шарі позначимо , . Для апроксимації похідної за часом у вузлах першого часового шару використаємо центральну симетричну різницю:
Відповідне різницеве рівняння запишется таким чином:
.
Звідки . Щоб виключити значення функції у фіктивному вузлі , використаємо різницеве рівняння (4.2), записавши його на нульовому шарі для :
Виключаємо з останього рівняння і використовуємо початкову умову, тоді отримуємо явну формулу для обчислення наближеного розв'язку на другому часовому шарі:
(4.4)
Різницева схема (6.2), (6.4) апроксимує диференціальну задачу з порядком .
Явна схема умовно стійка. Це означає, що при розв'язку гіперболічного рівняння за явною схемою слід обирати на крок по залежно від кроку по . Теоретично можна показати, що наближений розв'язок, що одержаний за допомогою (4.2), сходиться до точного при й зі швидкістю , якщо . При метод стає нестійким. Останнє означає, що при продовженні обчислень помилки катастрофічно наростають.
Приклад 4.1. Поздовжні коливання тяги описуються рівнянням ,***
де – модуль пружності, – щільність матеріалу стрижня. Тяга має довжину й закріплена на кінцях. Захопивши тягу в центрі, її деформують так, що поздовжнє переміщення стає рівним :
.
Потім тяга звільняється. Розрахуйте коливання при заданих параметрах. ***
-
, см
10
, Н/м2
103
, см
1
, кг/м2
103
Р исунок 4.3 – Модель стрижня прикладу 4.1
Розв'язок. Побудуємо сітку, як показано на рис. 4.4.
Різницеве рівняння коливання струни
(з урахуванням кроків по й по відповідно: , ) після перетворень прийме вигляд:
.
Схема стійка, якщо . Перевіримо цю нерівність при заданих умовах задачі: , тобто схема є стійкою.
Із граничних умов одержимо:
, , , , , .
Тому що тяга закріплена на кінцях, маємо
, ; , ; , .
Рисунок 4.4 – Просторово-тимчасова сітка прикладу 4.1.
Так як , тоді , отже . Тобто для : , , , .
Підрахуємо значення для :
;
;
;
.
Аналогічно обчислюємо для інших значень .
Графік розв'язку, отриманий із кроком і із кроком за часом , наведений на рис. 4.5. Початкове положення стрижня показане на графіку точками, інші графіки відповідають моментам часу 1, 2, 3 і 4.
Погрішність розв'язку, як видно з порівняння графіків з наведеними розрахунками для , трохи менше 0.2, що становить майже половину абсолютного значення розв'язку. Це говорить про необхідність зменшення кроку по координаті й за часом відповідно. Розрахунки із кроком наведені на рис. 4.6 і показують, що погрішність розв'язку, оцінена за правилом Рунге, не перевищує абсолютного значення 0.05. (5% відносна погрішність).
Рисунок 4.5 – Розв'язок задачі 4.1 із кроком
Рисунок 4.6 – Розв'язок задачі 4.1 із кроком