5. Стратегічна еквівалентність

Під час вибору конкретних функцій корисності зручно користуватись поняттям стратегічної еквівалентності. Кажуть, що дві функції U₁(x) та U₂(x) є стратегічно еквівалентними (записується U₁(x)  U₂(x)), якщо вони однаково впорядковують за ступенем привабливості будь-яку пару лотерей.

 Твердження 4. Якщо U₁(x)  U₂(x), то існують дві константи а і b (b > 0), при яких U₁(x) = a + bU₂(x).

З твердження 4 випливає, що:

U₁(x) = a + bx  U₂(x) = x;

U₁(x) = a – be^{– cx}  U₂(x) = – e^{– cx}.

Якщо функцією С-НСР є функція розподілу ймовірностей F(x), то, враховуючи, що функція f(x) = F(x) є функція щільності розподілу ймовірності, можна дати інтерпретацію лотереї з недискретним (неперервним) розподілом ймовірностей:

L(Х  [x_*, x_*]; f(x)).

6. Продаж лотереї

Нехай суб’єкт (надалі — продавець) вирішує питання щодо продажу лотереї (відмови від участі в ній). Оскільки цю лотерею він розглядає з точки зору свого розуміння корисності (з позицій своєї функції С-НСР U_пр(х) = F_пр(x)), то можна говорити, що продається лотерея

L_пр = L(Х  [x_*, x_*]; f_пр(x)),

де f_пр(x) = F_пр(x) — щільність розподілу ймовірності прибутків, отриманих продавцем від участі в різних лотереях. Позначимо через а = Мо(Х), тобто f_пр(a) =  .

Тоді у випадку, коли інтервал [x_*, x_*] належить до зони несхильності суб’єкта до ризику, тобто а < x_*, він (швидше всього) буде вважати лотерею несприятливою (такою, що може завдати йому значних збитків) i відмовиться від участі в ній за умови, що величина винагороди х  х_* (або за будь-яку суму, що є не меншою від величини затрат на придбання права на свою участь в лотереї).

Якщо [x_*, x_*] належить до зони схильності суб’єкта до ризику, тобто а > x_*, то він не уступить свого права на участь в цій лотереї. Але у випадку, коли а >> x_* (>> — значно більше), то з погляду непрестижності суб’єкт може відмовитись від такої лотереї і швидше всього — безплатно (ситуація меценатства, любові, альтруїзму).

Якщо ж точка а  [x_*, x_*], то суб’єкт (інвестор) може відмовитись від участі в лотереї за суму х  [a, x_*].

Розглянемо окремо випадок, коли інтервал [x_*, x_*] належить до зони нейтральності суб’єкта до ризику. Тоді на цьому інтервалі функція корисності має характер, близький до лінійного:

U(x) = kx + b    f(x) = U(x) = k = const,

тобто функція щільності f(x) описує рівномірний розподіл (для суб’єкта) можливих значень прибутку від участі в лотереї, і суб’єкт може уступити своє право на участь в ній за суму х  а.

7. Купівля лотереї

Нехай тепер суб’єктом (надалі — покупцем) вирішується питання щодо купівлі лотереї L_пр (купівлі права на участь в ній). Оскільки він має свою функцію С-НСР U_пк(х) = F_пк(х), то його підхід до процесу купівлі може бути таким. Покладемо b = Мо(х), тобто f_пк(b) =  , де f_пк(х) = F_пк(х).

Якщо інтервал [x_*, x_*] належить до зони несхильності до ризику покупця (b < х_*), то про купівлю цієї лотереї не може бути й мови. Якщо [x_*, x_*] належить до зони схильності покупця до ризику (b > х^*), то він згодиться на придбання цієї лотереї за суму х < x_*.

Якщо ж b  [x_*, x_*], то покупець згодиться придбати лотерею за суму x  b. Якщо ж [x_*, x_*] належить до зони нейтральності до ризику, то за суму x  b.

Тепер можна зробити такі висновки: акт купівлі-продажу лотереї відбудеться тоді, коли

C_* = max{x_*, a} < min{b, x_*} = C^*,

і сума х, на якій можуть зійтись продавець і покупець, буде належати інтервалу [C_*,C^*].

Більш глибокі дослідження щодо процесу купівлі-продажу лотереї можна отримати при введенні в розгляд таких характеристик випадкової величини, як медіана, модальна дисперсія, а також таку характеристику суб’єкта, як його поріг несхильності до ризику (поріг схильності).

Слід також мати на увазі, що у випадку симетричних функцій щільності розподілу ймовірностей f_пр(х) та f_пк(х) в процесі дослідження використовується величина сподіваного прибутку  = = M(X), оскільки тоді Мо(Х) = М(Х).

Розглянутій лотереї можна надати таку економічну інтерпретацію. У ролі покупця лотереї може виступати підприємець, який має свою функцію корисності. У ролі продавця — статистичні дані щодо результатів в даному виді підприємницької діяльності, які подано у вигляді функції розподілу ймовірностей (чи функції щільності розподілу).