2. Уникнення банкрутства при наданні кредиту. Визначення меж зон допустимого, критичного та катастрофічного ризиків

В ситуації коли інвестор вкладає в звичайні акції лише частину власного капіталу, залишаючи певну частку на збереження під майже без ризиковий відсоток r₀ (державні короткотермінові цінні папери). Яка буде при цьому величина ймовірності банкрутства?

Якщо А — обсяг наявного капіталу, а x₀А — частка, що залишається на збереження (вкладається в без ризикові цінні папери), то банкрутство стає можливим лише тоді, коли

x₀А(1 + r₀) + (1 – x₀)A(1 + R) < 0,

або

R < – (1 + x₀r₀) / (1 – x₀).

Тобто в цьому випадку замість величини r_s, яка фігурувала в попередньому випадку, маємо величину – (1 + x₀r₀) / (1 – x₀).

Оцінка за Чебишевим дає ризик банкрутства, що буде меншим, ніж 1/9, тоді, коли

(4.4)

,

(4.5)

або

Бачимо, що гра на біржі на власний капітал значно безпечніша. Навіть якщо вкласти його лише у ризиковані цінні папери, тобто, коли х₀ = 0, то достатнім є виконання умови ризик економічний показник кількісний

m > – 1 + 3

якщо інвестора задовольняє даний рівень надійності (ризику банкрутства p_н< 1/9).[1.118]

Якщо в результаті певного виду підприємницької діяльності здійснена оцінка величин m = M(X) та ² = ²(Х), а також встановлені для даної фірми величини критеріїв допустимого, критичного та катастрофічного ризиків k_дп, k_кр, k_кт, то границі значень можна оцінити таким чином. Нехай m = _т; x_дп = _дп; x_дп > m (випадок x_дп < m характеризує ситуацію, що є несприятливою щодо підприємницької діяльності, оскільки верхня межа зони допустимих збитків є меншою від величини сподіваних збитків). Тоді

(4.6)

тобто або ж

Враховуючи, що х_дп > m, приходимо до оцінки:

Поклавши х_кр = _кр та х_кт = _кт, аналогічно приходимо до оцінок:

Отже, мінімальні значення порогових значень можливих збитків, що задовольняють поставленим вимогам, будуть:

10.Ризик та елементи теорії корисності.

1.Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення.

Для задач прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику принцип оптимальності нерідко будується у вигляді функції корисності.

Корисність виражає ступінь задоволення, яке одержує суб’єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.

Концепція функції корисності дає змогу здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів, взагалі кажучи, фізично неспіввимірних.

Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, одержуючи речі, які приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритети при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг.

Співвимірність цінних паперів, які також є товаром, на перший погляд, простіше здійснити, оскільки усі вони мають ціну. Але ризиковані цінні папери — це документи, котрі засвідчують можливість одержання грошей у майбутньому, і тут співвимірність проблематична: не можна сказати, яка з випадкових величин, що відображає ефективність (норму доходу) кожного з цінних паперів, буде більшою чи меншою, а отже, не можна сказати, який з цінних паперів чи який портфель цінних паперів є пріоритетнішим.

Встановлення будь-якої міри ризику є спробою подолати цю проблему, характеризуючи випадкову величину одним показником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у вигляді сподіваного значення такої функції. Природно, що будь-які підходи такого роду є суб’єктивними, але без них не обійтися, якщо намагатися ввести певну єдину міру ризику.

У теорії корисності широке застосування має таке поняття, як пріоритет.

Позначимо співвідношення «пріоритетніше, ніж» «байдуже», «не гірше, ніж» відповідно символами , , .

Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше, ніж» є одним із основних найпростіших понять. Запис x  y, де х та у є набором товарів чи послуг (точками простору Х), означає, що певний суб’єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим, ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірше, ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х  у) тоді і лише тоді , коли х   y та у   x .

Коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х  y), то це відбувається тоді, коли х не гірше за у, а у гірше за х. Тобто, х  y тоді і лише тоді, коли х   y і при цьому твердження, що у   x, є несправедливим.

На базі введених аксіом щодо нестрогого співвідношення пріоритетності (аксіом щодо досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності) доведене існування неперервної дійсної функції U(x), визначеної на елементах множини Х, яку називають функцією корисності і для якої U(x) > U(y), якщо х  у.

Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, що його одержує особа від споживання додаткової кількості товару.

Приклад, у якому висвітлюється процес побудови функції корисності на базі експертної інформації, наведено в.

2. Корисність за Нейманом. Поняття лотереї

Для визначення корисності розглядається вибір особи в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Для цього необхідно з множини Х пред’явлених експертам значень певного економічного показника (об’єкта) виділити два значення х_* та х_* таких, що х   х_* та х   х_* для всіх х  Х, тобто найменш пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показ­ника (це буде «нуль» даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне, в певному сенсі, значення показника (разом з «нулем» вони визначають масштаб даної шкали). Власне, так побудована функція корисності Дж. ф. Неймана і О.Моргенштерна. Експерту пропонують порівняти між собою дві альтернативи:

1) значення показника х;

2) лотерею: одержати х_* з імовірністю 1 – р чи х_* з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(х_*, p, x_*) не стануть еквівалентними, тобто x  L(х_*, p, х_*).

Максимальному й мінімальному значенням х_* та х_* приписують довільні числові значення U^*= U(х_*) та U_* = U(x_*), але так, щоб U^* > U_*.

Під лотереєю L(x_*, p(x), x_*) розуміють ситуацію, у якій особа може отримати х_* з імовірністю р(х) або х_* з імовірністю 1 – р(х). (Часто використовують запис: L(x_*, p(x); x_*, q(x)), де q(х) = 1 – р(х)).

За Нейманом корисність варіанта х визначається ймовірністю U(х) = р(х), при якій особі байдуже, що обирати: х — гарантовано, чи лотерею L(х_*, р(х), х_*), де х_*, х_* — вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.

Наприклад, у якості функції корисності можна брати функцію

бо для всіх x  [x_*, x_*] значення q(х)  [0; 1]. Оскільки при зростанні х від х_* до х_* значення q(х) будуть збільшуватися, то вибрана таким чином функція корисності буде зростаючою.

Якщо покласти

то в цьому випадку ми отримаємо спадаючу функцію корисності (p(x) = 1 – q(x); p(x)  [0, 1] для x  [x_*, х_*]).

У якості функції корисності (згідно з Нейманом) можна використати функції розподілу ймовірностей:

U(x) = F(x) = P(X < x).

Наприклад: