3.Сподівана корисність

Нехай L — лотерея, що приводить до виграшів (подій) x₁, х₂, ...., х_n з відповідними ймовірностями p₁, p₂, ..., p_n. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через :

Справедлива основна формула теорії сподіваної корисності:

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума.

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику та їхнього взаємозв’язку з функціями корисності.

Детермінований еквівалент лотереї L — це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто   L. Отже, визначається з рівняння:

U( ) = M(U(Х)), або = U ^{– 1}(M(U(Х))),

де U ^{– 1} () — функція, обернена до функції U(x).

Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, що їх визначено вище, стосуються лотереї із скінченним числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює:

а детермінований еквівалент можна знайти із співвідношень:

.

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:

CC(Х) = – .

Якщо особа, яка приймає рішення, стикається з несприятливою для неї лотереєю (тобто лотереєю, яка менш пріоритетна, ніж стан, у якому вона перебуває), то природно запитати, скільки б вона заплатила (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участь у цій лотереї (уникнути її). Для визначення розмірів цього платежу вводиться до розгляду величина, яку називають премією за ризик.

3. Різне ставлення до ризику та корисність. Несхильність та схильність до ризику

Вигляд функції корисності може дати інформацію про ставлення до ризику особи, яка приймає рішення.

Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є можливість одержати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, аніж брати в ній участь.

З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Отже, умова несхильності до ризику записується як

U(M(X)) > M(U(X)).

 Твердження 1. Особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла вгору.

Особу, яка приймає рішення, називають схильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є участь у лотереї, ніж можливість одержати гарантовано сподіваний виграш.

Отже, умова схильності до ризику записується як

U(M(X)) < M(U(X)).

 Твердження 2. Особа, яка приймає ріщення, схильна до ризику в тому i тільки в тому випадку, коли її функція корисності опукла вниз.

Рис. 4.2. Функція корисності особи, несхильної до ризику

Графічне доведення справедливості тверджень 1 та 2 для лотереї L(x₁, p; x₂,q), p +q=1, наведене відповідно на рис.4.2 та рис.4.3 (там

Рис. 4.3. Функція корисності особи, схильної до ризику

4. Нейтральність до ризику

Проміжне значення між схильністю та несхильністю до ризику відіграє нейтральність (байдужість) до ризику. Вона визначається байдужістю особи у виборі між отриманням гарантованої суми, яка збігається з середньоочікуваним виграшем, та участю у лотереї.

Очевидно, що

а) функція корисності для особи, нейтральної до ризику, є лінійною, тобто

U(x) = ax + b;

б) умова байдужості до ризику:

U(M(Х)) = M(U(Х));

в) величина сподіваного виграшу збігається з детермінованим еквівалентом лотереї ( ), а тому премія за ризик (Х) = 0.

 Твердження 3. При зростаючій функції корисності для всіх невироджених лотерей особа, яка приймає рішення, тоді і тільки тоді є:

а) несхильною до ризику, коли премія за ризик є додатною ( (Х) > 0);

б) схильною до ризику, коли премія за ризик є від’ємною ( (Х) < 0);

в) нейтральною до ризику, якщо премія (Х) = 0.

Приклади деяких функцій корисності наводились раніше (пункт 4.2.4).