Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

80

Гл. 3.

Пределы

ПЛАН

РЕШЕНИЯ.

1. Число А называется пределом функции f{x)

в точке ж = а, если

Ve > О 35{е) > О :

О < |х -

а| < 5[е) =>

\f{x)

- А\ < е.

Это значит, что Ve >

О неравенство

|/(ж) — А\ < е имеет решение

О < | х - а |

< S{e).

2. Для того чтобы найти S{€)y сначала найдем множество М такое,

что

X е М

==^ \f{x)

-А\<е,

т.е. решим неравенство \f{x)

— А\ < е. Затем найдем 5{е) такое, что

О <

|ж -

а| < 5{е) ==> х е М.

Тогда будем иметь

О < |а; - а|

<

S{e) =^ х Е М

=>

\f{x) -

А\ < е.

Это означает, что

Иш f{x) = А.

Записываем ответ в виде: V e > 0

0 < | ж —а|< 5{е) =>

\f{x)—A\

< е.

ПРИМЕР. Доказать,

что

lim

15x2 -

2а: -

1

^

—

= 8.

ж-)>1/3

X — 1/3

РЕШЕНИЕ.

]^5х2 — 2х — 1

1. Число 8 называется пределом функции f{x)

=

т-rz

в

точке X = 1/3, если

х - 1 / 3

Уе>0

3S{e) > О :

О <

<S{e)

15^2 - 2а; - 1

£.

а: - 1/ 3

<

2. Для того чтобы найти (5(б:), сначала найдем множество М такое,

что

X е М

15x2 - 2х - 1

<е,

х-1/3

т.е. решим неравенство

15x2 - 2х - 1

< е.

I

X - 1/3

			3.5. Понятие предела функции								81
Затем найдем 5{е) такое, что
				1
			0< " - 3		<	S{e) =^х		е М.
Тогда будем иметь
0 <		1	< 5{£) =>	X е м			Ibx'^ - 2х - 1			< е.
	" - 3						х - 1 / 3
3. Решаем неравенство
15x2 - 2х -		1	8 < е <=>	|15х + 3 -			8| < е <^=Ф ^-77		<^	< -^ + 7Т
х - 1 / 3
								3	15	3	15
(так как	в	определении предела				функции		в точке	х ^	1/3,	т.е.

X —1/3 7^ О, то можно сократить дробь на множитель х —1/3). Таким образом.

	X е м	'Я ) U l	Q'Q	+ ir:	15x2 - 2а; - 1
					а ; - 1 / 3
		,3 15^3	З ' З	15
	Следовательно, если
			'<•) = I5'
	то
	0 < ^ - 31	<^(e)=^.e(i-^,i)uQ.i + ^)
					15x2 - 2х - 1
					х - 1 / 3
	т.е.	,.	15x2 - 2х - 1		„
		Ь т		— - — = 8.
		х-И/З	X — 1/3
			1	£	15x2 - 2х - 1
	Ответ. Ve > О О < ^ - 3			< I 5	х - 1 / 3

<е.

< £ ,

< €.

82

Гл. 3. Пределы

Условия

ЗАДАЧ.

Пользуясь

определением

предела функции в

точке,

доказать равенства.

1.

..

2х^ + Пх

+ 1Б

=

^

^

..

Згс2 + 2 х - 8

= —10.

lim

X + 3

—1.

2.

lim

Ж + 2

x->-3

ж->-2

3.

lim

6х^ + Бх-1

=

^

^

^.

9^2 4-12а:+ 3

=

^

;

- 1 .

4.

lim

;

6.

x-^-l/2

Ж + 1 / 2

сс->-1/3

Ж+ 1/3

5.

lim

За;^ + Ж -

2

=

—5.

о.

lim

х^ - о: -

6

^

1;^

—

= 5.

х->-1

ж + 1

гс->з а: — 3

,.

6х2-9ж + 3

^

^

,.

4х2 - 15х + 9

^

7.

lim

X — 1

=

3.

8.

lim

X — 3

= 9.

х->1

х-^3

lim

6x2 + 20^: + 6

=

_

,^

,. 5 x 2 - З х -

X + 3

-16.

10.

lim

X — 1

ж->-3

х-^1

Ответы.

1. 5{е) = s/2.

2. S{£) = е/3.

3. ^(е) = е/6.

4. 5(£) =

б/9.

5. (5(б:) = £/3.

6. S{e) = е.

7. J(5)

= е/6.

8. 5(б)

= е/4.

9. (5(5) =

^/6.

10.6{€) = е/Ъ.

3.6.Понятие непрерывности функции в точке

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Пользуясь определением, доказать, что функция /(х) непрерывна в точке а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Вычисляем /(а).

Функция /(х) называется непрерывной в точке х == а, если

Ve > О Ще) > О : |х - а| < (5(e) =Ф |/(х) - /(а)| < е.

Это значит, что Ve > О неравенство |/(х) -		/(а)| < е имеет решение
О < | х - а | < 5{е).
2. Для того чтобы найти 5{е), сначала найдем множество М такое,
что
хеМ=^	| / ( х ) - / ( а ) |	<е,

т.е. решим неравенство |/(х) — f{a)\ < е. Затем найдем (5(e) такое, что

|х - а| < S{£) = > X е М.

3.6. Понятие непрерывности функции в точке

83

Тогда будем иметь

\х- а\ < S{£) ==^ X е М => \f{x) - f{a)\ < е.

Это означает, что f{x) непрерывна в точке х = а.
Записываем ответ в виде: \/£:>0 |х —а| < 6{е) = >		\f{x)~f{a)\<£.
ПРИМЕР.	Пользуясь определением, доказать,	что функция
f{x) = 5х^ + 5	непрерывна в точке а = 8.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем /(8) = 325.

Функция f{x) называется непрерывной в точке о: = 8, если

\/е>0	3S{e) > О :				\х - 8\ < 6{е) =^ \5х^ + 5 - 325| < е.
Это значит, что Ve > О неравенство \f{x)							— 325) | < с имеет решение
0 < | а ; - 8 |	<5{е).
2. Для того чтобы найти ^(e), сначала найдем множество М та­
кое, что X G М			=^ |5ж^ + 5 — 3251 < £, т.е.					решим	неравенство
|5х^ + 5 — 325| < £, затем					найдем	S{£) такое, что |ж — 8|				< 5{е) =>
^ X G М. Тогда будем иметь
	\х-8\<		S{£) ==^хеМ			=^ |5ж2 + 5 -		325| < е.
3. Решаем неравенство (считая, что е < 320)
15x^-3201 < £ Ф = ^ 6 4 - ^				<х^ < 6 4 + 1 ^=> А / 6 4 - ^<Х					<	А / 6 4 + | .
Таким образом.
хеМ=		( ^64 -		I	, W64 + I ) = ^		\^^'^ + 5 - 325| < £.
Следовательно, если
6{е) = minis-фл^,					y	W | -	8 | = y'l. /64+1

то

|а; - 8| < S{e) =^ х е { ^/64 - | , W64 + | ) ==> \Ьх' + 5 - 325| < е,

84	Гл. 3. Пределы

т.е. f{x) = Ъх^ Н- 5 непрерывна в точке а: = 8.

Ответ. Ve > О |а; - 8| < W64 + ^ - 8 =Ф> \Ъх^ + 5 - 325| < е.

Условия ЗАДАЧ.		Пользуясь	определением^ доказать^ что функ­
ция f{x) непрерывна		в точке а.
1.	/(ж) = 4а;2 - 1,	а = 2.	2.	f{x) =^3x^-2,	а = 3.
3. f{x) = -x^-5,		а = 1.	4.	f{x) =-5x^-7,	а = 2.
5.	/(х) = - 4ж2 - 6, а = 3.		6.	/(ж) = -3^2 + 8,	а = 4.
7.	/(х) = 2а;2 + 5,	а = 2.	8.	f{x) = 5x2 + 2,	а = 6.
9.	f{x) = 4x^ + 1,	а = 8.	10. /(х) = 2 x 2 - 1 ,		а = 7.

Ответы. 1. 5{е)		= л/4 -f £:/4 - 2.	2.	J(E) =	^ 9 -f е/3
3. S{e) =	у Т + 7 - 1 .	4. 5{е) = у^4 + g/5 -	2.	5. (5(б) = у^9 + g/4 - 3.
6. 5{е) =	>/l6 + g/3-4. 7. (5(e) = л/4 + 5/2-2.			8. (5(e) =	л/36 + е/5 - 6 .

9.(5(б) = ^ 6 4 + е/4 - 8. 10.(5(е) = v^49 + е/2 - 7.

3.7.Вычисление Итх^а[Рп{^)/Qm{^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

у Рп{х)

^-^« Qm(a^)

2(?e

Рп{х) = йпХ^ + an-ix'^"-^ + ... -f aix + ао,

Qm(:i^) = ЬтХ"^ л- bm-lX"^'^	-|- . . . +	6iX + бо-
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Если Qmio) ф О, то функция Pn{x)/Qm[x)		непрерывна в точке а
lim ^"^^^ -	^"^""^
х ^ а IQrn{x)	Qrn{o)'

Если Qrn(a) = О И Pn(a) 7^ о, то

уРп{х)

3.7. Вычисление \imx-^a[Pn(x)/Qm{x)]

85

Если Qrn{o) = О и Р„(а) = О, то, разлагая многочлены на множи­ тели, получаем

Рп{х)	^	{x-a)Pn-i{x)
Qrn{x)		{х - a)Qm--i{x)'
где Qrn-iia) 7^ О и Pn-i(a) ^	0.

2. Поскольку в определении предела функции при ж —> а аргумент не может принимать значение, равное а, то в последнем случае можно

сократить множитель х — а.		Получаем
^->« Qm{x)	х-^а	[Х - a)Qm-l{x)	Qm-lW

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ а является кратным корнем многочленов Рп{х)

и Qm{x), ТО Рп{х) = {Х- а)^Рп-к{х), Qm{x) = (х - a ) ' Q r n - / W И

Рп{х)	^{х-	а)^Рп-к{х)
Qm{x)	{Х -	aYQm-l{xy
где Qm-i{o) 7^ о и Рп-к{о)	ф 0.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

,.х^ - 4x2 - Зх + 18

ИШ —Z	г	.
х->з х^ -	5x2 + Зх + 9

РЕШЕНИЕ.

1. Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является отношением двух бесконечно малых функций при х -> 3.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

х^ - 4x2 _ зх + 18 _ (х - 3)2(х -Ь 2) хЗ - 5x2 + Зх + 9 ~ (х - 3)2(х + 1)'

2. Поскольку в определении предела функции при х -> 3 аргу­ мент не может принимать значение, равное 3, то можно сократить множитель (х — 3)2. Получаем

	,. х ^ - 4 x 2 - 3 x 4 - 1 8		,. х + 2	5
	lim —	-z-T.—7. г- = lim		4 *
	:->з д:3 _ 5x2 ^ Зх + 9		х-лъ хЛ-\
Ответ, lim	хЗ _ 4^2 - Зх + 18		5
х-лъ	хЗ -	5x2 + Зх + 9	4

86	Гл. 3. Пределы

Условия ЗАДАЧ. Вычислить

ж^+ 3ж^+ 7x4-5

ж->-1 ж^ — ж — 2

	3.	,.	ж 2 - 2 ж +		1
		lim	—-г		- .
		х^1	2ж2 + ж -		3
	5.	^._	ж^ + 4ж2 + 5ж + 2
		iim		о	^
		х->-1		ж2 +	2ж4-1
	7.		ж^ -	бж^ -f 12ж -		8
		х->2	ж^ -	2ж2 + 2ж -		4 "

0х^ -1

п->1 2ж2 - ж - 1 '

пределы.
^	,.	ж^ +	ж ^ - ж - !
	lim	г	—.
	х-^-1	х^ — ох — 2
4.	lim
	ж~->1 ж"* — ж^ + ж — 1
6.	lim	ж^ + 2ж - 3
	ж->-з ж^ + 5ж^ + 6ж

8.lim ж^ + ж^ -f 2ж + 2

ж - ) > - 1 Ж^ — 1

10.	lim	^3 -	ж2 -	ж -	2
'	х->2	Ж^ -	2ж2 +	ж -	2 *

Ответы. 1. 0. 2. 2/3. 3. 0. 4. 2. 5. 1. 6. - 4 / 3 . 7. 0. 8. - 1 / 2 .

9.1. 10. 7/3.

3.8.Вычисление lim^^-^o [f{^)/9{^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

где /(ж) и д{х) — бесконечно малые функции в точке ж = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные (табличные).

Если /(ж), /1(ж), ^(ж), gi{x) — бесконечно малые функции в точке

ж = О такие,	что /(ж) ~ fi{x)	и ^(ж) ~ gi{x)	в точке	ж = О,
и существует	Ит^-^о fi{x)/gi{x),	то существует	Ит^^^о	f{x)/g{x),
причем

х-^0 д[х)

х-^0 gi{x)

3.8. Вычисление limx-)>o [f{x)/g(x)]

87

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ предел

lim 2х sin X х->о 1 — cos ж

РЕШЕНИЕ. Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых в точке ж = О, так как

lim (22: sin ж) = О, lim (1 — cosx) = 0.

Бесконечно малые, стоящие в числителе и знаменателе, заменяем на эквивалентные:

		2х sin ж ~ 2а: • ж,					ж —> О,
			1 —cosa:~—,				а: —> 0.
Таким образом,
		lim		2xsma:	=	,.	2х - х		= 4.
						lim	„ .	2
		х^о 1 — cos а:				х->о х^
_	,.	2a:sina:		= 4.
Ответ,	lim
	ж->о 1 — cos а:

Условия ЗАДАЧ. Вычислить пределы.

	,.	In(l + sin2a:)
''	^—	sin За:
	ж-^о
3.	lim —5 ^ - 1		г.
	ж->0 1п(1 -f		Х)
5.		1 — cos2x
	lim —r-2		7"
	ж->о	е^^ -	1
7.	,.	tg2a:
	ж-^о е^^ — 1
q	_	sin 2а:		- .
	lim
	ж-)^о ln(l -		2x)'

^	,.	Зж^ + 6а:
2.	lim	sin За:
	ж-fO
4.	lim	1 — cos 2х
	ж->о cos Ъх — cos За:

_ .. V9Tx-3
о.		lim	—.
		ж->о	3 arctg 2а:
8.		l i m ' - ^ ^ ^ ^
		х-^о	sin^ X
10.		lim	arcsin 2a:
	'
		ж-^о ln(e - 2a:) - 1'

Ответы.	1.	2/3.	2. 2. 3. 1п5. 4. - 1/4 . 5. 1. 6. 1/12. 7. 1.
8. 1/4. 9.	- 1	. 10.	- е .

S8	Гл. 3. Пределы

3.9. Вычисление Иш^-^а [/(^)/р(^)]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

у	/ W
hm -у-т-,
х-^а	д[х)

где f{x) и д{х) — бесконечно малые функции в точке х = а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Нужно заменить f{x) и д{х) на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функ­ ций составлена для точки х = 0. Поэтому сначала сделаем замену переменной х — а = t и будем искать предел при t —> 0.

2.Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгеб­ раическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

ПРИМЕР. Вычислить предел

,.	cos Зх —cos ж
lim	г -	.
х-^тг	tg'^2x
РЕШЕНИЕ.
1. Поскольку
lim [cos Зж — cos х] = О,		lim tg ^2х = О,
X—)-7Г		Х->7Г

ТО выражение под знаком предела является отношением двух беско­ нечно малых функций при х -^ тт. Нужно заменить эти бесконечно малые функции эквивалентными. Для этого сначала сделаем замену переменной ж — тг = t:

lim	cos	Зх -	cos X	,.	cos 3(7г -{-t)	— COSITT -h	t)
		r-		= lim	r-7	г	.
х->7г		tg22a:		t->o	tg22(7r-ht)

2. Используя тригонометрические формулы и заменяя в произве­ дении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, полу­ чим

..	cos 3(7г -ht)	-	cosin + t)	=
lim	7ГТ-,		^
t-^O	tg22(7r + t)
	,.	COS t-COS 3^		,.	-2sin2tsin(-t)	,. 2 • 2^ • ^ ^
	= lim		7Г-	= lim	Г--	= lim ——r— = 1.

		3.10. Вычисление limx->o [tx(x)^^'^^]		89
_	,.	cos3x —cosx	= 1.
Ответ,	lim	r-

Условия ЗАДАЧ. Вычислить

,.х^ -1

1.lim — . х->1 In ж

,. l + cos27rx 3. lim Ту .

а:->1/2 tg''27rX

5.	lim	\/ж2 -		ж -	1 -	1
		—-.			-г	.
	х ^ 2	1п(х -			1)
7.	lim	-;	.
	х-)>1 ЗШТГХ
9.	lim	-:Ц--.
	X—>7Г	sin3x

пределы.
^	1.	1 + cos5x
2.	lim	Ту .
	х-^7г	sin Зж
4.	,.	зшЗтгх
	lim -;—-—.
	х-^2	81п87Га:
6.	lim	tg5x
		——-.
	х^7г/2 tg Зх
8.	lim	.
	х ^ 1	ЗШТГХ
10.	lim
	х-^2 sinTTX

Ответы. 1. 3. 2. 5/18. 3. 1/2. 4. 3/8. 5. 3/2. 6. 3/5. 7. З/тг.

8.-1/(47г). 9. - 5 / 3 . 10. (41п2)/7г.

3.10.Вычисление Итд;_^о [г^(:з:)^^^^]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить предел

	х->0
где lim и(х) = 1 и	lim v(x) = оо.
х->0 ^	х->0 ^

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Преобразуем выражение под знаком предела:

uixy^""^ ^еЧх)1пи(х)^

2. Поскольку показательная функция е^ непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

lim luixY^''^] = lim е^^^^^^^^^^ = eiim.->ob(x)inu(x)]^