Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

100	Гл. 4. Дифференцирование

постоянные. Используем формулу производной линейной комбинации

{CiUi + C2U2 -f . . . + CnUnY = Ciu[ + C2U2 + . . . + CnU'^^

• функция имеет вид и - v. Используем формулу производной произведения

(и- v)' = и' ' V -\-U' v'.

и

• функция имеет вид —. Используем формулу производной част-

	ного:	V
		/ г/ \ '	и' • V ~ и ' v'

• Функция имеет вид и(у(х)). Используем формулу производной сложной функции

u{v{x))' — u'{v) • v'{x).

• функция имеет вид и{хУ^^\ Производная такой функции вы­ числяется с помощью формулы

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каж­ дым знаком производной не окажется табличная функция.

ПРИМЕР. Найти производную функции

Зх^ -h 4х^ - х2 - 2

У =	15\/1 + ж2

РЕШЕНИЕ.

1.Функция у{х) имеет вид

15 V

где и{х) = Зх^ -f- 4х^ — х^ — 2 и v{x) = у/1 Ч- ж^ . Используя формулу для производной частного, получаем

У

1 {Зх^ + Ах^ -х^-	2У УТТ^ - {Зх^ -Ь Ах^ -х^-2)	{УТТ^)'
15	( \ / i T ^ ) 2

4.2. Вычисление производных

101

2. Функция и{х) = Зх^ + 4а;'^ — ж^ — 2 является линейной комбина­ цией табличных функций. Поэтому

(Зж^ + 4х^ - х2 - 2)' = 18х^ + 1бх^ - 2х.

3. Функция v{x) = \/1 + ж^ имеет вид

г;(а:) = ui(i;i(a;)),

где Til = \ / ^ и z;i(x) = 1 + ж^. Используя формулу для производной сложной функции, получаем

v\x)

= ( v ^ ) ' (1 + х^У = - i =

2^ =

2\/1 + ж2 '

2,/щ

Ответ,

у' =

, (18а;^ +

16х^ -

^

-

(Зх^ + 4а;^ -

а;^ -

2)

—

2х

=

_

2х) VTTx^

=

1

2У/ТТХ'

2

15

1 + ^2

Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных

функций.

1.

у = 2^^^.

2.

у = \п{х + ^/TTx^).

3.

?/ =

ln2(l - cosx) .

4.

, .

.

5.

y =

3^ (sin X + cos X In 3)

^

sh2a:

?/= m(arcsin\/^).

^

•

6. y = —^—.

^

^

^

1Ч-1п2з

ch22x

7.

у = arcsin -7= .

8.

у = a r c t g 3 ^ .

9.

у = ln(l +

Vthx).

y/x

10. 2/ = lnsin3 —cos^x

smx

Ответы. 1. 2v^^ ,

! " V •

2. ^ = L = .

3. ^^^"^^(1 -

cosx)

2cos^xVtga;

v 1 + a:^

l - c o s x

^

2ch22x-4sh^2x

^

1

2\/х - ж2

arcsin v ^ '

5. 3'^cosa;.

6.

r^-

.

7.

2ж Vx - 1"

'

'

'

ch^ 2ж

'

'

3v^ln2

1

cosa;(l-f

sin^x)

• (l + 32V^)2v^'

y.

"~

/

^

о •

J-U.

sin^x

* 2(thx + \/thx)ch2x'

*

102	Гл. 4. Дифференцирование

4.3. Уравнение касательной и нормали

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной и нор­ мали к кривой у = f{x) в т.очке с абсциссой а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция f{x) в точке а имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

у = f{a) + f'{a){x - а).

(1)

Если f'{a) = оо, то уравнение касательной имеет вид х = а.

Если /'(а) 7^ О, то уравнение нормали имеет вид

y^f{a)-j^^{x-a).

(2)

Если /'(а) = О, то уравнение нормали имеет вид х = а. 1. Находим значение /(а).

2. Находим производную f'{a).

3. Подставляя найденные значения /(а) и f'{a) в (1) и (2), полу­ чаем уравнения касательной и нормали.

ПРИМЕР. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

16

У = 6 V ^ - ^ V^

в точке с абсциссой а = 1.

РЕШЕНИЕ.

1. Находим /(1) = 2/3.

2. Находим производную /'(1) =2/3. Так как /'(1) т^ О и /'(1) / о о ,

то воспользуемся уравнениями (1) и (2).
3. Подставляя найденные значения /(а)				= 2/3 и /'(а) = 2/3 в (1)
и (2), получаем уравнения касательной и нормали:
2	2/	-.4	2	3 .	^,
у = —I—(х —1),			V =	(х — 1 .
^ 3	3^	^ '	^ 3 2	^	^
Ответ. Уравнение касательной:			2х — Sy = 0. Уравнение нормали:
9ж + б2/ - 13 = 0.

4.4. Приблиэюенпые вычисления с помощью дифференциала

103

Условия ЗАДАЧ. Составить

уравнения

касательной

и нормали

к графику функции у = f{x)

в точке

с абсциссой а.

1.

у = X — х^^

а =

1.

2.

у — х^-\-X-\-1^

а = —1.

3.

2/= х^ + ж,

а =

1.

4.

у = А/Х — 2,

а = 4.

Ъ.у

= х'^ + \ ^ ,

а =

1.

6.

2/=

\ / х 2 - 9 ,

а = -27.

7.

2/ = — t x ^ ,

а = 9.

8.

2/ = 3 2 V ^ - x ,

а = 16.

22- v^^

а~1.

ж^ - 2ж 4- 2

9.

?/ =

а: - x - l ,

10.2/ =

^5

'

а = 2.

Ответы.

1. а: + 2/-1 = 0,

2;-2/-1 = 0.

2. х + у = О,

ж - у - 2 = 0.

3.

4ж - 2/ - 2 = О,

ж + 4у - 9 = 0.

4.

ж -

4^/ - 4 = О,

4ж + т/ - 16 =

0.

5.

7Х-22/-3 = О,

2ж+7?/-16 = 0.

6. 2а:+92/+54 = О,

9х-22/+243 = 0.

7.

2а: -

Зу -

33 =

О,

Зх + 2^/ - 17 =

0. 8.

?/ - 48 =

О,

ж - 16 =

0.

9. х - 2 / - 2

= 0,

ж + у = 0.

10. 27/-1 = 0,

ж - 2 = 0.

4.4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислит^ь приближенно с помощью диф­ ференциала значение функции у = f{x) в точке х = а.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ приращение Ах = х — а аргумента х мало

по абсолютной величине, то
f{x) = fia	+ Ax)^f{a)	+ f'{a)Ax.	(1)
1. Выбираем точку а, ближайшую к х и такую, чтобы легко вы­
числялись значения /(а) и	f'[a).
2. Вычисляем Да: = х	— а^ f{a) и	f'{a).
3. Цо формуле (1) вычисляем f{x).
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ приближенно		с помощью	дифференциала
значение функции у = ух^	-Ь 5 в точке х = 1, 97.

104	Гл. 4. Дифференцирование

РЕШЕНИЕ.

1.Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения /(а) и /'(а), — это точка а = 2.

2.Вычисляем:

Дж = х - а = 1,97 - 2 = -0,03,

			f{a)	= f{2) = 3,					f\x)		= -j=^,			Па)^у'{2)		=	\.
	3. По формуле (1) имеем
							/(1,97) « 3 + ~ ( - 0 , 0 3 )							= 2,98.
		Ответ. /(1,97)					«2,98 .
		Условия ЗАДАЧ. Вычислить приблиэюенно с помощью дифферен­
циала значение					функции у = f{x)							в точке		х — а.
1.		y = ж^		ж = 2,001.								2.	y = ^Дx^,			ж = 0,1
3.		у =	V ^ ,		ж =		1,02.					4.	2/ = х^, х = 2,999.
5.		2/ =	^ ,		X =		1,03.					6.	2/ = у г ,		X = 3,996.
7.		2/ =	VI + sinx,					х = 0,02.				8.	у — у/2х + cosx, х = 0,01.
9.		2/=	у 2 х - s i n — ,						х = 1,03.			10. у = л/4х -f 1,				х =	1,97.
		Ответы.		1.	32,08.			2.	0,96.		3.	1,03.	4.	26,073.	5.	1,01.	6.	1,999.
7.	1,01.		8.	1,01.		9.		1,02.		10.	2,98.

4.5. Логарифмическое дифференцирование

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции вида

у = uiixy^""^.. .Un(x)''"^^^i(;i(x). ..Wm{x),

4.5. Логарифмическое дифференцирование

105

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Логарифм данной функции имеет вид

In г/ =	vi{x)liiui{x)	-f ... + Vn{x)lnun{x)		-{-lnwi{x)	4-... -\-ln.Wm{x).
2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаем
У	\	^1 /	V	Un J	Wi	Wn
Поэтому

3. Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем ответ.

ПРИМЕР. Найти производную функции у = х^ ж^.

РЕШЕНИЕ.

1. Логарифм данной функции имеет вид

In 2/ = 1п{х^'х^) = e'^lnx + Olnx.

2. Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

у XX

Поэтому

2 / ' = 2 / ( е ^ 1 п ж + — ^ 1 ,

3. Подставляя в последнее равенство выражение для г/, получаем

ответ.
Ответ,	у' = х^	х^	I е^ 1пх +
	—— /Y»6	or»''	/ э Х
Условия ЗАДАЧ. Найти производные заданных функций.
1. 2/=	(sina:)^.		2. 2/= х ^ З ^ .

106		Гл. 4. Дифференцирование
3.	у = х^ "^.		4.	г/= (arctgx)"^.
7.	y = x^ .		8.		y^x^^"".
9.	^-(sinSx)^^^^^^^		10.	t/ = a:2^3^
Ответы.
,	/In sin X	Jx cos ж \	^	,	/	^ In 3 \
	\2л/х	X/		L In arctg ж +(1 + x'^jarctgx

^ ,	/ In tg ж		In ж \	^ ,
5-2/' = 2/	^ - ^ -		.	6. г/'-^
	\ X	smxcosx/

(\w.x 1 , ^\ - ^ + ^ = + c o s x l n 2 . \2^ж ух )

7. y'-j/2-- f-sinxln2 + l y 8. y' = у (^			+ ^ " l	.
\	X)	\ cos"^ a:	ж у
9. у' = y einsinSxctgSa:.		10. у' = у ( 2^ 1п21пж + 2"^--f InS j .

4.6.Производная функции, заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции, заданной

параметрически.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ зависимость у от а: задана посредством параметра t:

•fit),

\ у

ТО зависимость у' от х задается посредством параметра t формулами

X = fit),

у' = Ж

(1)

Вычисляем f'{t) и g'{t)^ подставляем в формулу (1) и записываем ответ.

4.6. Производная функции, заданной параметрически

107

ПРИМЕР. Найти производную у'^, если

РЕШЕНИЕ. Вычисляем:
dx	I	[^	t
dt	t + vTT^V1 + vTTt2y			vTTt^'
dy ^	t	t	i'		- (1 -f vT+72)	x/t^TT
			^/ГТ~^		V -^ V ^ ; ^
dt	vTTF	1 + ViTt2			t2	t

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получаем X = ln(t + \ / l + t 2 ) ,

Ответ. <( l-ft^

Условия ЗАДАЧ. Найти производные функций, заданных пара­

метрически.
		x = t'^ + l/t^	'^'	Г ж =			\/^2 - 2t,
		у = sin(tV3-{-St).		\	у=		^/гп:.
^'	^ y = Vt^TT.		'	I	y = tgt.
,	Г x - l n ( l - t 2 ) ,		g	Г a; =		lntgt,
	[	у = arcsin t.	'	\	y =		l/smt.
	j	X = cos^ t,	'	J	ж =	t	sint,
	I	у = sin^ t.		\	у = 1 cost.
					X =		\ / 1 - ^ 2 ,

у = arcsint.

108	Гл. 4. Дифференцирование
	Ответы.

• ^ 2/' = -t" cos (fiZ + 3t).					• 1 J/' = V^~^tl{Z ^{t - If).
	(	X^ Ь(<2 + 1),			r _
					-- - 2 \ / l	- t/cos^ t.
		X ^	ln(l - t^),	r x = lntgf,
^'	^	j / '	= - v / l - f 2 ( 2 f ) .	"• \ y'^-cos^		t/sint.
	j	X = cos^t,		j	X = t — sint^
^' I y' = - t g t .				^- \ y ' = c t g ( t / 2 ) .
9.	^	- - b s i n ^		^^J	x = Vr^^
		y' = -ttgt/Vl~^-			I 2/' = - 1 Л

4.7.Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной и нор­ мали к кривой

X = fit),

у= g{t)

вт^очке А, соответст,вующей значению параметра t = tQ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция у{х) в точке а имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

У = у{а)-\~у'{а){х-а),

(1)

Если у'(а) = ос, то уравнение касательной имеет вид х = а. Если у'(а) ф О, то уравнение нормали имеет вид

Если у'{а) — О, то уравнение нормали имеет вид х = а.

J^.l. Касателънал и нормаль к кривой, заданной параметрически 109

1. Вычисляем координаты точки А:

[ а = /(^о),

2.Находим производную г/' в точке касания при t — to:

3.Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1)

инормали (2) и записываем ответ.

ПРИМЕР. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

X = 2е\

У= е~*

вточке А, соответствующей значению параметра t = 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Вычисляем координаты точки А: а == 2, у{а) = 1. 2. Находим производную у' в точке А\

ПО) = 2е\^^ = 2, д'{0) ^ -е'^^^

^ - 1 ^ у'{0) - f i | | - -^^

Поскольку /'(0) 7^ О и /'(0) 7^ 00, то можно воспользоваться уравне­ ниями (1) и (2).

3. Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1):

у = 1 -	i (х - 2),
И нормали (2):
у = 1-f	2(а;-2).

Ответ. Уравнение касательной: x-i-2y — 4: = 0. Уравнение нормали:

2х-у-3	= 0.
Условия		ЗАДАЧ. Составить		уравнения	касательной		и нормали
к графикам		функций,	заданным параметрически.
(	x = t-smt,			^	(	x = 2t + t'^,
^' \ y	= l-cost,		to = 7r/2.	• \ y		= 2t-t'^,	to = l.