- •1 Первообразная функция
- •2 Интегрирование по частям
- •3 Понятие о «не берущихся» интегралах.
- •5 Деление в ,,уголок’’
- •10 Интегрирование
- •8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму….
- •9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx.
- •Частные случаи
- •11 Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман
- •Пусть на отрезке [а,b] дана функция f(х), которую будем считать непрерывной.Построим разбиение отрезка [а,b]. Под разбиением будем понимать множество точек х0, х1, …, хn, удовлетворяющих условию:
- •12 Свойства определенного интеграла
- •13 Теорема о среднем для интеграла от непрерывной функции
- •14 Дифференцирование интеграла по верхнему пределу.
- •15 Формула Ньютона-Лейбница
- •17 Формула интегрирования по частям Можно пользоваться формулой ибо
- •26 Несобственный интеграл по полу- и –бесконечному промежуткам.
- •27 Простейшие свойства сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •28 Несобственные интегралы от неограниченных функций(т.Е. Второго рода)
- •29 Определение главного зн. Для несоб. Инт. Второго рода
- •30 Признаки сходимости несобственного интеграпа
- •31 Понятие о условной сходимости
1 Первообразная функция
Функция F(х)называется первообразной функцией для функции f(х) на некотором интервале (а,b), если F/(х)= f(х), или что тоже самоеdF=f(x) dx Теорема. Если функция F(х) является первообразной функцией для функции f(х), то F(х)+С также является первообразной для f(х), где С-произвольная постоянная величина.Это следует из того, что (F(х)+С)/= F/(х)= f(х).Убедимся, что любые две первообразные F(x) и (x) функции f(x) различаются на постоянное слагаемое. Имеем:
Тогда разность
что и требовалось.
Это выражение F(х)+С называется неопределенным интегралом от функции f(х), и обозначается символом . Итак, по определению .
Свойства неопределенного интеграла
1) символы d и взаимно сокращаются
2) Ибо есть первообразная для
3)
4)
2 Интегрирование по частям
Метод интегрирования по частям основан на известном дифференциальном равенстве где u и v –функции от аргумента x
Тогда откуда .
Это и есть формула интегрирования по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле Предположим, что нам известен неопределенный интеграл
. Тогда будем иметь: , где w(x) – произвольная дифференцируемая функция от аргумента x.
3 Понятие о «не берущихся» интегралах.
Существуют «берущиеся» и «не берущиеся» интегралы.
Неопределенные интегралы вида , , , ,
, , , (p, k - некоторые постоянные величины), и некоторые другие не выражаются в виде конечной комбинации элементарных функций - они «не берущиеся».
4 Интегрирование дробно-рациональных выражений.
от дробно-рациональных функций вида . С этой целью прежде, чем говорить об , рассмотрим элементарные (в смысле интегрирования) простые дроби (дробные выражения)
2. 3. 4.
где А, a, b, р, q- вещественные числа, причем - трехчлен, не имеющий действительных корней, т.е. ;
3.
Еще прием для интегрирования таких дробных выражений:
; ; Тогда
5 Деление в ,,уголок’’
Разложение правильных дробей Рm(х)/Qn(x) на простые. Правильная дробь – это дробь вида Рm(х)/Qn(x) , n > m. Если , то делением « в уголок» можно представить в виде где Rk (x) – многочлен, а . Пусть Рm(x)/Qn(x)- правильная дробь. Разложим знаменатель на множители: Qn ( причем k1+k2+…..+2m1+…+2ms=n) Берем многочлен ; тогда где A - постоянная, подлежащая определению, А=Соnst. Тогда
; однозначно находим A, поскольку . Повторяя процедуру, находим
далее повторяем процедуру относительно корня b, тогда
и т. д.Так можно перебрать все действительные корни.
7 Упрощение вида Пусть Покажем, что равенство Pm (x) – (Ax+B)Qn-2r(x) = Pm-2(x)(x2+px+q) возможно. Для этого
A и B определяем так, чтобы левая часть делилась на x2+px+q. Обозначим остаток от деления Рm(x) на x2+px+q чрез Мx+N, а Qn-2r(x) на x2+px+q – через Zx+K. Тогда задача сводится к подбору А и В, чтобы делилось нацело на x2+px+q.
-АZx2+(M-ZB+Ak) x+N - BK= - AZ(x2+ ) пропорционально x2+px+q. Делим и здесь, определяем остаток и требуем, чтобы и этот остаток обратился в нуль. Получаем:
2 уравнения с двумя неизвестными A и B = ? остальные величины в этой системе известные. Можно видеть, что эта система уравнений разрешима относительно A и B.
прежде чем интегрировать правильную дробь Pm(x)/Qn(x), ее надо представить в виде комбинации элементарных в смысле интегрирования дробей вида:
Коэффициенты A,…,С, D, …,М и т.д. удобно находить, решая систему алгебраических уравнений.