- •1 Первообразная функция
- •2 Интегрирование по частям
- •3 Понятие о «не берущихся» интегралах.
- •5 Деление в ,,уголок’’
- •10 Интегрирование
- •8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму….
- •9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx.
- •Частные случаи
- •11 Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман
- •Пусть на отрезке [а,b] дана функция f(х), которую будем считать непрерывной.Построим разбиение отрезка [а,b]. Под разбиением будем понимать множество точек х0, х1, …, хn, удовлетворяющих условию:
- •12 Свойства определенного интеграла
- •13 Теорема о среднем для интеграла от непрерывной функции
- •14 Дифференцирование интеграла по верхнему пределу.
- •15 Формула Ньютона-Лейбница
- •17 Формула интегрирования по частям Можно пользоваться формулой ибо
- •26 Несобственный интеграл по полу- и –бесконечному промежуткам.
- •27 Простейшие свойства сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •28 Несобственные интегралы от неограниченных функций(т.Е. Второго рода)
- •29 Определение главного зн. Для несоб. Инт. Второго рода
- •30 Признаки сходимости несобственного интеграпа
- •31 Понятие о условной сходимости
10 Интегрирование
; ; dx// рационально через dt Несколько более общий случай: , где М – общий знаменатель
8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму….
Пусть многочлен, стоящий в знаменателе, удалось разложить на множители: . Тогда интеграл можно существенно упростить за счет следующих общих выкладок. Берем интеграл от каждого слагаемого. Так, имеем: = Рациональные части от всех слагаемых объединяем. Получаем в итоге равенство Здесь многочлены Q1(x) и Q2(x) таковы:
Оставшийся интеграл достаточно простой. При нахождении коэффициентов многочленов исходим из последовательности равенств: 1) 2) 3)
9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx.
Рассмотрим неопределенный интеграл где R( , ) – рациональная функция от sin x и cos x. Этот интеграл может быть в общем случае сведен к интегралу от рациональной функции, для чего надо подставить .
Имеем
х=2arctgt
Частные случаи
если или , то можно не применять универсальную подстановку. Пусть, например, m- нечетное
а)
б)
2. и . Тогда понижаем порядок вдвое, приходим к интегралу вида .После возведения в степени p и q и перемножения, снова имеем интегралы вида Пример
=
11 Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман
Требуется определить площадь криволинейной трапеции АВСД, ограниченной сверху кривой y = f(х), слева и справа прямыми х=а и х=b и снизу прямой у = 0 (осью х). Сначала рассмотрим приближенное решение этой задачи. Разобьем [а,b] точками х0=а, х1, х2,…,хn-1, хn=b; хj-хj-1=Δ хj-1.
Проведем ординаты (вычислим) f(х0), f(х1), …, f(хn-1), f(хn).
Вычислим суммарную площадь прямоугольников высоты f(х0)…, f(хn-1)
Имеем
Величину σ можно рассматривать в качестве приближенного значения площади. Сумма Σ f(хj) Δхj является примером интегральной суммы.
Разбиение отрезка [а,b] можно характеризовать в данном случае максимальным значением Δхj, которое обозначим λ:
λ=max(Δxj) j=0,1,...,n-1 λ- параметр разбиения. Ему соответствует сумма площадей σ.
Возьмем более «мелкое» разбиение с параметром λ', λ'<λ . Ему соответствует сумма площадей прямоугольников: Измельчая разбиения и устремления параметра λ к нулю, получим последовательность интегральных сумм σ, σ', σ",… Если эта последовательность имеет предел при λ→0, равный S, что можно записать так то этот предел принимают (по определению) за площадь криволинейной трапеции АВСД.
Интеграл Римана (определенный интеграл)
Пусть на отрезке [а,b] дана функция f(х), которую будем считать непрерывной.Построим разбиение отрезка [а,b]. Под разбиением будем понимать множество точек х0, х1, …, хn, удовлетворяющих условию:
а= х0< х1<х2<…< хn-1< хn=b
Сумма называется интегральной суммой для произвольной функции f(х) на отрезке [а,b] . Если существует предел (конечный) ,не зависящий от выбора точек ξj на интервалах [хj, хj+1] и от выбора точек хj, то такой предел называют определенным интегралом от f(х); обозначается символом Итак a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, f(х) называют подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральное выражение.
Функции f(х), для которых существует конечный предел , называют
интегрируемыми в смысле Римана (мы будем иметь дело только с таким интегралом) .