- •1 Первообразная функция
- •2 Интегрирование по частям
- •3 Понятие о «не берущихся» интегралах.
- •5 Деление в ,,уголок’’
- •10 Интегрирование
- •8 Дать общий вид разложения правильного дробнорационального выр-я на сумму….
- •9 Интегрирование рациональных функций от sinx, cosx.
- •Частные случаи
- •11 Приближенное определение площади криволинейой трапеции.Риман
- •Пусть на отрезке [а,b] дана функция f(х), которую будем считать непрерывной.Построим разбиение отрезка [а,b]. Под разбиением будем понимать множество точек х0, х1, …, хn, удовлетворяющих условию:
- •12 Свойства определенного интеграла
- •13 Теорема о среднем для интеграла от непрерывной функции
- •14 Дифференцирование интеграла по верхнему пределу.
- •15 Формула Ньютона-Лейбница
- •17 Формула интегрирования по частям Можно пользоваться формулой ибо
- •26 Несобственный интеграл по полу- и –бесконечному промежуткам.
- •27 Простейшие свойства сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •28 Несобственные интегралы от неограниченных функций(т.Е. Второго рода)
- •29 Определение главного зн. Для несоб. Инт. Второго рода
- •30 Признаки сходимости несобственного интеграпа
- •31 Понятие о условной сходимости
12 Свойства определенного интеграла
1 Интеграл как линейный функционал (линейные свойства определенного интеграла). Если f(х) – интегрируемая функция, то С· f(х) – интегрируемая; Если f(х) и g(х) – интегрируемая, то f±g – также интегрируемая.
Другими словами, интегрируемые на [а,b] функции образуют линейное пространство. Определенный интеграл отображает элементы этого пространства (т.е. функции) на числа. Он есть числовая функция от функции, т.е. функционал.
I(cf)=c·I(f) Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла.
I(f+g)=I(f)+I(g)
Это и есть 2 линейных свойства определенного интеграла.
Интеграл как аддитивная функция
Свойства интеграла, выражаемые неравенствами
1) При а<b, для ограниченных функций имеем
2) Если на [а, b] (а < b) имеем f(х)≥0, то
13 Теорема о среднем для интеграла от непрерывной функции
Для интегрируемой ограниченной функции на [а, b], удовлетворяющей условию m≤f(x)≤M, (причем m=inf, М=sup (f(x)), имеем Если взять μ, m≤ μ≤M, то
Это т.н. теорема о среднем.
Если f(x) непрерывна, m=min f(x), М=max f(x) на [а, b], то в качестве μ можно взять значение f(x) в некоторой точке ξ. Тогда (для непрерывной f(x)) Значение f(ξ)=
называют средним значением функции на [а, b].
14 Дифференцирование интеграла по верхнему пределу.
Пусть f(t) – непрерывная функция t при а≤t≤b Рассмотрим Ф(х)=
Покажем, что '(х)= f(х), т.е. что (х) является некоторой первообразной для f(х). Имеем Ф'(х)=
мы установили, что всякая непрерывная функция f(t) имеет первообразную,
которую можно взять в виде
Т.О.неопределенный интеграл от функции f(х) можно представить в виде , где С – произвольная постоянная
15 Формула Ньютона-Лейбница
В соответствии с предыдущим, F(а)=С. Тогда Пользуясь этим, можно записать Это центральная формула математического анализа, справедлива для любой непрерывной функции f(t) . Это формула Ньютона-Лейбница.
16 Замена переменной интегрирования.
Пусть f(х) – интегрируемая функция (Римана), и мы имеем дело вычислением ( причем а < b) Пусть х= φ(t) – непрерывно дифференцируемая монотонная функция на интервале [α, β] (α<β), причем φ(α)=а, φ(β)=b. Тогда в этих условиях Эта формула немедленно получается учетом того, что F(a)+
17 Формула интегрирования по частям Можно пользоваться формулой ибо
18 простая формула прямоугольников численного интегрмрования
Пусть вычисляется интеграл Если f(х)≈const на [а,b] , то можно приближенно взять Ошибка порядка . Это формула прямоугольников.
19 простая формула трапеции численного интегрирования
, ошибка порядка .
20 простая формула парабол(Симпсона) числ инт
Ошибка интегрирования порядка
21 по составной формуле прямоугольников имеем
где Δ=(b-а)/n, n-любое натуральное число.
22 По составной формуле трапеций (n-любое натуральное):
23 По составной формуле Симпсона (n-четное, n=2к)
24 Приложения определенного интеграла.
Длина линии, площадь плоских фигур и площади некоторых поверхностей, объем некоторых тел:
Площадь задача о площади криволинейной трапеции решается с помощью определенного интеграла. В предположении, что эта фигура ограничена сверху линией у= f(х) , имеем (при f(х) >0) Если линия задана параметрически у= φ(t), х= ψ(t),
Площадь эллипса: х=аcost, y=bsint; 0<t<π/2; S=1/4 πаb·4= πab
Пусть, далее линия задана уравнением в полярных координатах:
х=r(φ) cos φ у= r(φ) sin φ r= r(φ) – задано
а требуется вычислить площадь сектора , . Тогда S≈1/2ΣΔφjrj2=>
Пример: r=аφ. Это спираль Архимеда . Для нее
2.Объем тела. Пусть тело, для которого известны площади поперечных сечений, перпендикулярных некоторому направлению, вдоль которого затем задаем координатную ось Х. Итак S(х) – известны. Объем между сечениями в пределах от x=а до x=b:
Объем тела вращения y= , Длина дуги . Пусть линия задана уравнением у= f(х). (Δlj)→0. .. 2 Если линия задана параметрически (x=φ(t), y=ψ(t)) , то получаем :
25 Эта сумма интегралов от непрерывных функций и есть интеграл от разрывной функции с точками разрыва первого рода c1, c2, …,ck.