12) Средние величины

Средние величины - это обобщающие показатели, в которых проявляются общие, закономерные черты, свойственные для всей совокупности изучаемого явления. В средних величинах погашаются индивидуальные различия в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц изучаемой совокупности, и, наоборот, определяется уровень варьирующего признака, типичный для большинства единиц данной совокупности.

Основным условием правильного использования средних величин является качественная однородность совокупности, по которой рассчитывается средняя величина. Если изучаемая совокупность качественно неоднородна, то перед расчетом средних показателей, должна быть произведена необходимая группировка, все единицы совокупности должны быть разбиты на качественно однородные группы. Виды средних величин:

Для решения разнообразных задач, возникающих на практике, используются различные вицы средних величин.

Наиболее часто используемыми видами средних величин являются: Средняя арифметическая; Средняя геометрическая; Средняя гармоническая.

Средняя арифметическая.

С редняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Средняя арифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число.

Вычислять среднюю арифметическую можно по другому: нужно перед суммированием умножить значение варианты на частоту, т.е. на число показывающее сколько раз встречается эта варианта. Такое умножение в статистике называют взвешиванием , а число единиц, показывающих, сколько вариант имеют одинаковые значения, - весами или частотами. Затем полученные произведения суммируются и полученная сумма делится на сумму частот. В результате, средняя арифметическая рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной: х - отдельные варианты значения признака, f - веса или частота появления признака.

Средняя арифметическая может рассчитываться как по данным дискретных, так интервальных вариационных рядов, когда варианта значения признака представлена в виде интервалов (от -до).

Д ля вычисления средней величины надо для каждого интервала определить серединное значение х' В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ. В открытых интервалах предполагается, что величина открытого интервала равна величине соседнего интервала. После того, как определено серединное значение интервала, производится расчет средней арифметической взвешенной по формуле

Средняя гармоническая.

С редняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической. Средняя гармоническая используется, когда статистическая информация не содержит данных о частотах по отдельным вариантам совокупности, но известны произведения частот на их веса.

Общая формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

х - величина варьирующего признака,

w - произведение варьирующего значения признака на его веса (xf) Очевидно, что вместо средней гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений варьирующего признака.

В том случае, если общие объемы явлений, т.е. произведения признаков на их веса равны, применяется средняя гармоническая простая:

х - отдельные значения признака (варианты), п - общее число вариант.

С редняя геометрическая - это величина применяемая для расчета средних из отношений. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах средних темпов роста. Формула средней геометрической выглядит следующим образом:

где х - коэффициентроста(варьирующий признак), п — количество периодов, по которым имеются коэффициенты роста.

Среднегодовые темпы роста могут рассчитываться с использованием другой формулы средней геометрической:

где у1 — абсолютная величина явления в первом году периода

у n - абсолютная величина явления в последнем году периода, i - количество лет периода

Удобство данной формулы состоит в том, что при расчетах не требуются данные за все годы периода.

Решение о том, какая из двух приведенных формул средней геометрической должна использоваться в каждом конкретном случае, принимается в зависимости от наличия исходных данных.

Применение средней геометрической справедливо, если годовые коэффициенты роста за последующие годы составляют непрерывно возрастающий (или непрерывно убывающий) ряд.