3. Метрические пространства.

Def. Множество М с заданной на нём вещественной функцией : ММR₊, обладающей следующими свойствами: а) (х,у)=(у,х) (симметрия) б) (х,х)=0; (х,у)>0  xy (положительная определённость) в) (х,z) £(х,y)+r(y,z) (неравенство треугольника) называется метрическим пространством, а функция  - метрикой. Её значение на паре точек (х,у) называется расстоянием между точками х и у. Определение, как видите, отвечает нашему интуитивному представлению о расстоянии.

Упражнение 50.

Проверьте, что в метрическом пространстве М открытые шары В(х,r)={yM|(x,y)<r} составляют базу некоторой топологии. Эта топология и называется метрической. Докажите, что замкнутые шары В(х,r)={yM|(x,y)r} действительно замкнуты.

В случае метрических пространств, которые, как мы увидим, составляют подкласс нормальных пространств, но для нас являются наиболее важным примером ТП (охватывающим, между прочим, все евклидовы пространства), можно ввести ещё понятие ограниченного множества:

Def. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Упражнение 51*.

Компакты (= компактные подмножества) в метрических пространствах замкнуты.

(hint: prove that the complementation is open. Chose an arbitrary point p and for every qK consider B(q,r) and D(p,r); r<d(p,q)).

Обратите внимание, что ваше доказательство проходит для любых хаусдорфовых пространств, а не только метрических.

Упражнение 52.

Замкнутые подмножества компактов компактны.

(Это так же верно и в любых хаусдорфовых пространствах).

Упражнение 53*.

{K_} – семейство компактов такое, что пересечение любого конечного подсемейства непусто. Докажите, что тогда и пересечение всего семейства {K_}.

(hint: if K₁ does not posses a point, common to the rest of K_a, then their complements cover K₁)

Упражнение 54.

Любое бесконечное подмножество компакта имеет в нём свою предельную точку.

Оба последних утверждения (и их доказательства) переносятся на хаусдорфовы пространства.

Упражнение 55.

Каждое сепарабельное метрическое пространство имеет счётную базу.

Упражнение 56*.

Пусть Х – метрическое пространство, в котором каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку. Докажите, что оно сепарабельно.

(hint: for any >0 one can not build an indefinite sequence of points so that distance between any two of them greater than . It means that space can be covered with finite number of spheres for =1/n).

Упражнение 57*. (утверждение, обратное №54)

Если в метрическом пространстве каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку, то оно компактно.

(hint: from previous exercises one can infer that at least X= . F_n= ; . Chose one point from each F_n and look at the limit point for this infinite set)

Упражнение 58.

Последовательность вложенных отрезков имеет общую точку: I_nR, I_nI_n+1  .

(hint: let I_n=[a_n,b_n]. Prove that x=sup{a_n} will do.)

Def. k-мерной клеткой называется множество точек x=(x₁,…,x_k)R^k , координаты которых удовлетворяют неравенствам a_ix_ib_i i=1,…,k. Она же прямоугольный параллелепипед, она же – произведение k отрезков (сегментов), как и должно быть, естественно. При к=1 мы узнаём в ней отрезок, при к=2 – прямоугольник. Теперь докажите аналогичное утверждение для клеток:

Упражнение 59.

Пересечение системы вложенных к-мерных клеток непусто.

Упражнение 60*.

К-мерная клетка компактна.

(hint: get from the opposite the sequence I_nI_n+1, I_n is not covered by finite number of {G_}, diameter=diagonal I_n0. Look at x ).

Упражнение 61.

В евклидовом пространстве R^k множество М ограничено и замкнуто  оно компактно.

Упражнение 62. (Карл Вейерштрасс)

Всякое бесконечное ограниченное подмножество R^k имеет в R^k предельную точку.

Канторово множество.

Положим Е₀=[0,1]. Разделим теперь этот единичный отрезок на три равные части и удалим среднюю треть – интервал . Оставшиеся два отрезка обозначим как Е₁; Е₁= . Теперь удалим средние трети каждого из оставшихся двух отрезков и получим Е₂ – объединение четырёх сегментов, Е₂= . Продолжая этот процесс, мы получим последовательность компактов Е₁ Е₂ Е₃…, причём Е_n есть объединение 2ⁿ сегментов, длина каждого из которых равна 3^-n. Канторовым множеством называется пересечение всех этих компактов, Р= .

Упражнение 63. Докажите, что:

1. Канторово множество непусто и компактно;

2. Канторово множество не содержит никакого интервала;

3. Канторово множество совершенно.

Упражнение 64*.

Любое непустое совершенное подмножество компактного хаусдорфова или полного метрического пространства несчётно.

(hint: it should be at least infinite. From the opposite, let it be P={x₁,x₂,...}. Let V₁=V(x₁) is some open set, containing x₁. Let V₂ be an open set, containing some points from P except from x₁ and such, that V₁ . Continue this process. Consider K_n=P and K= .)

Между прочим, получено ещё одно доказательство несчётности множества точек отрезка, множества всех вещественных чисел. Но куда более неожиданно, что, оказывается, и канторово множество, дырявое как швейцарский сыр, тоже несчётно!

Легко привести пример связного, например, в R² множества М такого, что МR¹ несвязно в R¹. С другой стороны, очевидно, что если MYX и М было несвязно в ТП Х, то оно останется таковым и в Y. Докажем для метрических пространств и обратное утверждение:

Упражнение 65.

Пусть Е – несвязное в себе подпространство метрического пространства Х, то есть, Е=GH, где G и H – открытые относительно Е, непустые и непересекающиеся множества. Докажите, что А,ВХ, открытые, непустые и непересекающиеся, такие, что G=AE, H=BE.

Упражнение 66*.

Подмножество Е вещественной прямой R¹ связно  (xE)(yE)(x<z<y)(zE).

(hint: ; E=AB, A, B, AB=; xA, yB, x<y. Let S=A[x,y], z=supS. Prove that z does not belong neither to A, nor to B).

Как следствие из этой теоремы, получаем, что связными подмножествами вещественной прямой могут быть только интервалы (включая саму прямую и лучи без начальных точек), полуинтервалы (включая лучи) и сегменты.

Упражнение 67.

Постройте компактное множество вещественных чисел, имеющее счётное множество предельных точек.

Упражнение 68.

Постройте контрпримеры к упражнениям 53 и 54, заменив в них слово «компакт» на слово а) «замкнутое множество» и б) «ограниченное множество».

Упражнение 69.

Постройте примеры а) системы вложенных замкнутых множеств и б) системы вложенных ограниченных множеств, не имеющих общей точки.

Упражнение 70*.

Каждое замкнутое множество в сепарабельном метрическом пространстве является объединением совершенного множества (быть может, пустого) и некоторого не более чем счётного множества.

Следствие: в R^k каждое счётное замкнутое множество имеет изолированные точки.

Упражнение 71*.

Каждое открытое множество в R¹ является объединением не более чем счётного множества попарно непересекающихся интервалов.

Следуя методу упражнения 64, докажите одно из следующих двух эквивалентных утверждений (и объясните, почему это они эквивалентны):

Упражнение 72*. а) Если евклидово пространство R^k представлено объединением счётного числа своих замкнутых подмножеств, то хотя бы одно из них имеет непустую внутренность; б) Пересечение счётного числа всюду плотных открытых подмножеств евклидова пространства непусто. Через одно упражнение вы докажите усиление этого результата.

Упражнение 73.

Если {E_n} – последовательность вложенных замкнутых множеств в полном метрическом пространстве и если , то состоит ровно из одной точки.

Упражнение 74*. (теорема Бэра)

Пусть{G_n} – последовательность всюду плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве. Докажите, что всюду плотно.

Упражнение 75.

Пусть {p_n} и {q_n} – последовательности Коши в полном метрическом пространстве. Покажите, что последовательность расстояний {d(p_n,q_n)} сходится.

Назовём последовательности Коши {p_n} и {q_n} эквивалентными, если

Упражнение 76.

Проверьте, что это определение действительно устанавливает отношение эквивалентности во множестве всех последовательностей Коши.

Если Х - само метрическое пространство, то обозначим Х* множество полученных классов эквивалентных последовательностей Коши. Введём в Х* расстояние следующим образом:

Пусть Р,QX*, {p_n}P и {q_n}Q. Положим d(P,Q)= .

Упражнение 77.

А) Проверьте, что это определение корректно.

В) Докажите, что введённое расстояние действительно отвечает всем требованиям метрики.

С) Докажите, что метрическое пространство Х* полно.

Устроим теперь вложение i:ХХ*. Пусть рХ. р{p_n}={р,р,…}РX*. Положим i(p)=P.

Упражнение 78.

А) Докажите, что i:ХХ* - изометрия.

В) Докажите, что i(Х) плотно в Х*.

С) Докажите, что Х полно  i(Х)=Х*.

В силу А) можно отождествить Х с i(Х) и считать Х погруженным в Х*. Х* называется пополнением метрического пространства Х.

D) Что служит пополнением Q* пространства рациональных чисел Q с обычным расстоянием d(p,q)=|p-q|?