Методика решения задач
Задача 1. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r0=20см от его середины (рисунок 12). Сила тока, текущего по проводу, равна I=30А, длина отрезка равна l=60см.
Решение. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:
(1)
Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно
Рисунок 12. Поле, создаваемое отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка.
было интегрировать по углу . Выразим длину элемента dl проводника через d. Согласно рисунку 5, запишем
.
Подставим это выражение dl в формулу (1)
Но
r
— величина переменная, зависящая от
и
равная
Подставив
r
в
предыдущую формулу, найдем
(2)
Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от 1 до 2:
(3)
Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos2= – cos1. С учетом этого формула (3) примет вид
(4)
Из
рисунка 12 следует
.
Подставив выражение cos 1 в формулу (4), получим
(5)
Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вычисления:
.
Задача
2.
Длинный провод с током I=50А
изогнут под углом =2/3.
Определить магнитную индукцию
в точке А
(рисунок
13). Расстояние d=5см.
Решение.
Изогнутый провод можно рассматривать
как два длинных провода, концы которых
соединены в точке О.
В соответствии с принципом суперпозиции
магнитных полей магнитная индукция
в точке А
будет
равна геометрической сумме магнитных
индукций
и
полей,
создаваемых отрезками длинных проводов
1
и
2,
т.
е.
.
Магнитная индукция
равна
нулю. Это следует из закона Био — Савара
— Лапласа, согласно которому в точках,
лежащих на оси проводника, d
=0.
Магнитную индукцию найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в задаче 9:
,
где r0 — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рисунок 14)
В
нашем случае 1→0
(проводник
длинный), 2==2π/3,
(cosα2=cos(2π/3)=-
).
Расстояние
r0=d
sin
(π−)=
d
sin(π/3)=
.
Тогда
магнитная индукция
Р
исунок
13. Длинный провод с током I
изогнут под углом .
Рисунок 14. r0 — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А.
Так
как
(
=0),
то
/
Вектор
сонаправлен с вектором
и его направление определяется правилом
правого винта. На рисунке 14 это направление
отмечено значком
(перпендикулярно плоскости чертежа от
нас).
Произведем вычисления:
.
Задача
3. При скорости
изменения силы тока I/t
в соленоиде, равной 50А/с,
на его концах возникает ЭДС самоиндукции
=0,08В.
Определить индуктивность L
соленоида.
Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением
.
Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим
.
Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим
Сделав вычисления по этой формуле, найдем
L=1,6 мГн.
Задача 4. На проволочный виток радиусом r=10см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент Мmax=6,5мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Определить магнитную индукцию поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.
Решение. Индукцию магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,
(1)
Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2, (sin α=l), а также что pm=IS, то формула (1) примет вид
Отсюда, учитывая, что S=π r2, находим
(2)
Произведя вычисления по формуле (2), найдем
В=104 мкТл.
Задача 5. Плоский квадратный контур со стороной длиной а=10см, по которому течет ток I=100А, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией В=1Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ1=90°; 2) φ2=З0. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент
(1)
По
условию задачи, в начальном положении
контур свободно установился в магнитном
поле. При этом момент сил равен нулю
(М=0),
а значит φ=0, т. е. векторы
и
совпадают по направлению.
Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме
dA=Md (2)
Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что рт= I S=I a2, где I — сила тока в контуре, S=a2 — площадь контура, получим
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:
(3)
1. Работа при повороте на угол φ1=900
(4)
После вычисления по формуле (4) найдем A1=lДж.
2. Работа при повороте на угол 2=3°. В этом случае, учитывая, что угол 2 мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:
(5)
Выразим угол 2 в радианах
2=30=3·l,75·10-2 рад=0,0525 рад.
После подстановки значений I, В, а и φ2 в формулу (5) получим А2=1,37мДж.