основные законы динамики. основные понятия и определения

1закон Н - изолированная материальная точка либо находится в покои, либо прямолинейно и равномерно движется.

под изолированной точкой понимается материальная точка которая не взаимодействует с другими телами, или когда силы действующие на точку уравновешены.

2закон - сила действующая на материальную точку сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы - mw=F ma=F

3 закон - равенство действия и противодействия двух материальных точек.

закон независимого действия сил(принцип аддитивности) - если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из сил в отдельности.

w=w1+..+wn

mwn=Fn

сила тяжести

сила тяготения - F=(чm1m2)/(R)

сила сопротивления(вязкого тррения) - A=мV м - мю

Линейная сила упругости - F=cл л- лямбда-величина смещения с-коэф упругости

законы динамики в сжатом виде -

1. существует инерциональная система отсчета-такая в которой материальная точка находится в покоо или движется прямолинейно и равномерно.

2. в инерциальной системе отсчета вектор ускорения материальной точки пропорционален вектору силы, действующую на эту точку.

3. две мат точки взаимодействуют друг с другом так что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.

мат точка - некий материальный объект не имеющий размеров.

сила - характеристика действия одного тела на другое

Вывести дифф ур относительного движения точки и обосновать его с помощью закона Бэра. Каково условие относительного покоя материальной точки.

по 2 З.Н. mw=sum(F)=R -главный вектор

w=we+wr+wc wc- кариолиса , we - переносное ускор и wc -относительное ускорения

V=Ve+Vr

w=2we x Vr

mwr=R - mwe - mwc

mwr= R + Фе + Фс дифф ур относ движения

Фс - кариолисова сила инерции

закон Бэра- в северном полушарии обрывистый правый берег а левый пологий.

Фс=0.01Р если Vr=700 м\с L=90*

рисунок земной шар, вращение сверху против часовой стрелки, Vr направлена по мередиану вверх, ей перпендикулярно вправо Фс а влево wc (по паралели направленые)

условие относительного покоя - wr=0 0=sum(Fk)+Фе+Фс

Фс=0 для покоя

исходя из этого никакими приборами не определяется движется система отсчета или покоится.

Вывести дифф ур относительного движения точки и обосновать его с помощью октлонения падающих тел.. Каково условие относительного покоя материальной точки.

по 2 З.Н. mw=sum(F)=R -главный вектор

w=we+wr+wc wc- кариолиса , we - переносное ускор и wc -относительное ускорения

V=Ve+Vr

w=2we x Vr

mwr=R - mwe - mwc

mwr= R + Фе + Фс дифф ур относ движения

Фс - кариолисова сила инерции

в северном полушарии тело отклоняется к востоку

Fкор = 2mwgt cosL L - широта

|

| \

| \

| \ ______> F кор

| |\

| | \

| P | \

| \

|______\___ x восток

mx``=Fкор my``= -P=-mg

условие относительного покоя - wr=0 0=sum(Fk)+Фе+Фс

Фс=0 для покоя

исходя из этого никакими приборами не определяется движется система отсчета или покоится.

Вывести теорему об изменении количества движения материальной точки и механической системы в векторном виде. обосновать закон о сохранении количества движения материальной точки и механической системы

теорема - изменение количества движения точки = импульсу силы за этот же промежуток времени

для точки

qk=mkVk импульс(колво движения) точки

2 з Н mk(dVk/dt)=F^e

dqk/dt=F^e интегральная форма - изменение количества движения точки во времени = главный вектор внешних сил

qk2-qk1=int_t1_t2(F^e dt) импульс силы S12

S12=F^e *dt

qk2-qk1=S12

система

m1(dV1/dt)=F1^e

.......

mk(dVk/dt)=Fk^e

________________

rc``= Vc`=Wc mVc=Q

при суммировании внутренние силы уходят

m(dVc/dt)=F^e

dQc/dt=F^e

Q2-Q1=int_t1_t2(F^e dt)=S12

S12=F^e delta t

если S12 =0 то колво движения точки или системы сохраняется

Колебательное движение точки. Решение уравнений свободных колебаний

востанавливающая сила - сила пытающаяся вернуть точку в положение равновесия, такие силы зависят от положения точки, отклонения от равновесия, и направлены к положению равновесия.

привести рисунок с тележкой на пружине...и еще про коробку тонущую...

востанавливающие силы придают движению материальной точки колебательный характер.

также в таких случаях еще действуют силы сопротивления R(x`) зависящие от скорости движения.на рисунке с тележкой такой силой будет трение между телом и поверхностью.

Т=2П\К период колебания

V=1/T

свободные колебания

востанавливающая сила F(x)=-cx

дифф ур - mx``+cx=0

с - коэффициент пропорциональности

положив c/m = K^2

x``+K^2 x=0 линейное однородное дифф уравнение второго порядка с постояянными коэф

характерестическое уравнение L^2 + K^2 =0

корни чисто мнимые числа L1=Ki L2=-Ki

общее решение будет -

x=C1cosKt+C2sinKt

C1 и C2 - постоянные интегрирования

положив C1=a sinE C2=a cosE

из соотношений новые постоянные определяются из формул

a = sqrt(C1^2+C2^2)

tgE=C1/C2

тогда

x=a cosE sinKt + a sinE cosKt

x=a sin(kt+E)

С1 и C2 ( a and E) определяются из начальных условий, начальным положением и скоростью точки.

таким образом под действием востанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону , то есть гармоническое колебательное движение. такие колебания называются свободными колебаниями.

амплитуда колебания - наибольшее отклонение метериальной точки от положения равновесия = a

аргумент (kt+E) называется фазой колебания , а E начальной фазой

k - угловая частота колебаний , определяет число колебаний совершаемых точкой за 2П секунд

k=sqrt(c/m) не зависит от начальных условий - собственная частота

T=2Пsqrt(m/c)

V=2msqrt(c/m)

a = sqrt(C1^2+C2^2) | зависят от

tgE=C1/C2 | начальных условий

вывести теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра. покажите почему траектория материальной точки движущаяся под действием центральной силы лежит в одной плоскости

теорема - производная от момента количества движения механической системы равняется сумме моментов внешних сил относительно центра

Mo=r x mV векторное перемножение

K0=sum(Mok) момент количества движения системы K0 равен сумме моментов количества движения всех ее точек

рис 1

Mok = rk*mk*Vk*sinL относительно центра

mkz= mk*hk*Vk= mk*hk^2*w относительно оси

Kz= sum(mkz)=w(sum(mk*hk^2))

mk*hk^2 = Jz

mk*wk=Fk^e+Fk^i

Mo - момент силы относительно центра

rk x mk*wk=rk x Fk^e + rk x Fk^i = Mo(Fk^e)+Mo(Fk^i)

d[Mok]/dt=(drk x mkVk)/dt + rk d(mkVk)/dt =[ где (drk x mkVk)/dt = 0] = Vk x mkVk + rk x mkWk=rk x mkWk [так как Vk x mkVk =0 ]

d[Mok]/dt=Mo(Fk^e)+Mo(Fk^i)

dK0/dt = sum(Mo(Fk^e))

теорема доказана

под дейтсвием центровой силы на основании формулы (q=(1/2)(r x V)) можно утверждать что r будет расположен в плоскости перпендик вектору q то есть траектория точки лежит в этой плоскости

вывести теорему об изменении кинетической энергии механической системы. Сформулируйте теорему Кенига о кинетической энергии механической системы в общем случаи движения. как вычисляется кинетическая энергия твердого тела в различных случаях ее движения.

F

__ /__ угол L

____|_./__|__.

dS

теорема - изменение кинетической инергии системы = сумме работ внутренних и внешних сил действующих на эту систему

T2-T1=int(sum(Fxdx)+sum(Fydy)+sum(Fzdz))

вывод -

Ek=(1/2)(mkVk^2)

T=sum(Ek)=(1/2)sum(mVk^2) кинетическая энергия

deltaA=FdeltaS= FdeltaScosL

mw=sum(Fk)

m(dV/dS)(dS/dt)=sum(Fk)

mV(dV/dS)=sun(Fk)

d((1/2)(mV^2))/dS=sum(Fk)

d((1/2)(mV^2))=sum(Fk)ds

T2-T1=int(sum(FkdS))

теорема Кенига

кинетическая энергия любой системы складывается из поступательного движения центра масс(в предположении что в нем сосредоточена масса всей системы) + вращения относительно центра масс(2 формулировка...... + кинетической энергии Tcr системы в ее движении относительно поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с центром масс осей Cxyz)

T=(1/2)(mV^2)+Tсr

для поступательного движения - T=(1/2)(mVc^2)

для вращательного движения - T=(1/2)(JcW^2) ; J=(mR^2)2 ; w=V/R;

плоско параллельное движение - T=(1/2)(mVc^2)+(1/2)(JcW^2)