Дифф уравнения прямолинейного движения точки и их интегрировани (при различных вариантах правой части уравнения)

1. сила зависит только от времени

диф ур - mx``=f(t)

mx`=int(f(t)dt)+C1=ч(t)+C1 ч - фи

mx=int(ч(t)dt)+C1t+C2

отсюда выражается x(t)

2. сила зависит от координаты точки

mx``=f(x)

dV/dt=x``

m(dV/dt)=m(dV/dx)(dx/dt)=mV(dV/dx)=f(x)

(1/2)mV^2=int(f(x)dx)+C1=ч(x)+C1

dx/dt=V=sqrt(2/m + ч(x) + C1)

int(dx/sqrt(ч(x)+C1))=sqrt(2/m) * t +C2

int(dx/sqrt(ч(x)+C1))=Ф(x)=(sqrt(2/m) *t +C2)

3. сила зависит от скорости точки

mx``=f(V)

m(dV/dt)=f(V)

m int(dV/dt)=t+C1

m ч(V)=t+C1

V=Ф(t)

dx/dt=Ф(t)

x=int(Ф(t)dx) +C2

вывести теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра. при каких условиях остается постоянным кинетический момент относительно центра и при каких - кинетический момент относительно оси

теорема - производная от момента количества движения механической системы равняется сумме моментов внешних сил относительно центра

Mo=r x mV векторное перемножение

K0=sum(Mok) момент количества движения системы K0 равен сумме моментов количества движения всех ее точек

рис 1

Mok = rk*mk*Vk*sinL относительно центра

mkz= mk*hk*Vk= mk*hk^2*w относительно оси

Kz= sum(mkz)=w(sum(mk*hk^2))

mk*hk^2 = Jz

mk*wk=Fk^e+Fk^i

Mo - момент силы относительно центра

rk x mk*wk=rk x Fk^e + rk x Fk^i = Mo(Fk^e)+Mo(Fk^i)

d[Mok]/dt=(drk x mkVk)/dt + rk d(mkVk)/dt =[ где (drk x mkVk)/dt = 0] = Vk x mkVk + rk x mkWk=rk x mkWk [так как Vk x mkVk =0 ]

d[Mok]/dt=Mo(Fk^e)+Mo(Fk^i)

dK0/dt = sum(Mo(Fk^e))

теорема доказана

закон сохранения -

1. если sum(Mo(Fk^e))=0, то dKo/dt=0 => Ko=const

если сумма моментов внешних сил действующ на систему относительно данного центра равна нулю то момент количества движения относительно этого же центра сохраняется

2. момент колва движения относительно оси - Kx= sum(mx(mkVk))

если sum(Mx(Fk^e))=0 то dKx/dt = 0 ==> Kx=const

если сумма моментов всех сил относительно какой нить оси =0 то момент количества движения относительно этой оси сохраняется.

Работа силы. Теорема об изменении кинетической энергии

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Рассмотрим материальную точку М массой м, движущ. под дейст. сил Р1,Р2…. Установим зависимость между работой , соверш. прилож-ми к точке силоми на перемещ. М1М2, и изменением кинет. энерг. точки на этом перем.

Выберем нач. и напр. отсчета дуговой корд. s=ОМ. в т. М орт касательной , направл. всегда в сторону увелич. дуговой корд. Проекция скорости точки на касат:

v=ds/dt

проекция ускорения точки на касат:

a=dv/dt

или

a=dv/ds*ds/dt=dv/ds*v

Воспольз. осн. теор. динамики:

ma=Pi

Спроец. векторы, вход. в это уравн., на касат, вдоль которой напр. орт :

ma=Picos(Pi, )

Подставляем в это уравн. знач. a и умнож. обе части равен. на ds

mv dv=Pi ds cos(Pi, )

Левая часть- диффер-л кинет энерг. точки, а правая – сумма элемент. работ, прилож. к т. сил.

d(mv²/2)= dA

Проинтегр. обе части Ур-я в предел, соотв. нач. и конечн. полож. т. М1 и М2

(mv2²/2)- (mv1²/2)= Ai

Изменение кинетич. энергии материальной точки на некотором ее перемещ. равно алгебр. сумме работ всех дейст. на эту точку сил на этом же перемещ.