70. Масштаб. Изменение масштаба. Преобразования сдвига и поворота плоской системы координат.

Масштаб - это отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.В математике масштаб определеется как отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на реальной местности. Масштаб 1: 100000 означает, что 1 см на карте соответствует 100000 см = 1000 м = 1 км на местности.

Количественное изменение величины можно так же представить как изменение масштаба и отобразить умножением или делением величины на коэффициент изменения масштаба. Изменение масштаба может происходить только в пределах горизонтов числовой оси пространства, то есть от бесконечности до обратной ей величины.

Для величины в пространстве изменение масштаба сопровождается одновременным изменением угла поворота между первоначальным положением и положением величины в пространстве после изменения масштаба.

Преобразование масштабирования относительно начала координат имеет вид: Xn = X ·Sx, Yn = Y ·Sy (Sx, Sy - коэффициенты масштабирования по осям)

Преобразование сдвига в плоском случае имеет вид: Xn = X + Tx, Yn = Y + Ty (X, Y – начальные координаты; Tx, Ty – коэффициенты сдвига)

Преобразование поворота относительно начала координат имеет вид: Xn = X ·cosf - Y ·sinf, Yn = X ·sinf + Y ·cosf (f - угол поворота)

71. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой линии в отрезках по осям координат. Уравнение прямой линии, заданной двумя точками. Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку под заданным углом.

Линия первого порядка в декартовой системе координат. Задается на плоскости уравнением первой степени Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой линии в отрезках по осям координат. M₁(а,0) и M₂(0,b)

Уравнение прямой линии, заданной двумя точками M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂)

Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку под заданным углом. Пусть задана точка М₀(х₀,у₀) прямой и её угловой коэффициент k.

72. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой линии.

Рассмотрим две прямые l₁ и l₂:

l₁: y₁=k₁x+b₁; l₂: y₂=k₂x+b₂; Тогда формула такова

Если же уравнения прямых заданы в общем виде A₁ x + B₁ y + C₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, тогда

Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

73. Системы координат в пространстве. Общее уравнение прямой линии.

1) Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами.

2) Цилиндрическая система координат в пространстве – “родственница” полярной системы координат на плоскости. Чтобы получить цилиндрическую систему надо на плоскости ввести полярную систему координат и добавить вертикальную координатную ось. Т.о., координаты точки – три числа: первые два – полярные координаты проекции нашей точки на плоскость, третье – величина проекции точки на вертикальную ось.

3) Сферическая система координат вводится следующим образом: фиксируем плоскость, на ней -- точку О начала координат, а из точки О выпускаем луч, перпендикулярный плоскости, и луч, лежащий в плоскости. Положение точки М задаётся тремя числами: первое – расстояние от начала координат О до точки М; второе – угол между проекцией отрезка ОМ на плоскость и лежащим в плоскости лучом; третье – угол между перпендикулярным плоскости лучом и отрезком ОМ.

Прямая в пространстве может быть задана также как пересечение двух плоскостей, если плоскости не параллельны: (на плоскости )