- •Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
- •Предел последовательности. Сходимость.
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Признаки сходимости последовательностей.
- •5. Определение функции. Способы задания функций.
- •6. Классификация элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.3амечательные пределы.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11. Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- •17. Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формулы Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
- •21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •2З. Понятие первообразной, основные свойства.
- •24. Интегрирование способом подстановки.
- •25. Метод интегрирования по частям (с выводом).
- •26. Основные табличные интегралы.
- •27. Разложение действительного многочлена на множители.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29. Интегрирование рациональных функций.
- •30. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •31. Биномиальный интеграл.
- •36. Понятие определенного интеграла.
- •37. Основные свойства определенного интеграла.
- •49. Интегрирование функций, имеющих разрывы второго рода.
- •56. Частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Частные производные высших порядков. Изменение порядка дифференцирования.
- •58. Сложная функция двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
- •59. Дифференциал функции двух переменных.
- •60. Максимум и минимум функции двух переменных.
- •61. Векторы. Действия с векторами, линейное векторное пространство.
- •62. Линейная комбинация векторов. Базис линейного векторного пространства.
- •63. Определение матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.
- •64. Квадратные матрицы. Определитель квадратной матрицы. Способы вычисления определителей.
- •65. Система линейных уравнений. Свойства решений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •66. Метод Гаусса.
- •67. Теорема Крамера.
- •68. Понятие координаты геометрической точки. Аффинная система координат на плоскости. Декартова система координат.
- •69. Линия на плоскости. Уравнение линии на плоскости.
- •70. Масштаб. Изменение масштаба. Преобразования сдвига и поворота плоской системы координат.
- •72. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой линии.
- •73. Системы координат в пространстве. Общее уравнение прямой линии.
- •74. Определение эллипса, фокусы эллипса, каноническое уравнение эллипса. Окружность как частный случай эллипса.
- •75. Определение гиперболы и параболы. Понятие кривой второго порядка, квадратичные формы.
- •76. Преобразование координат на канонические формы кривых второго порядка.
66. Метод Гаусса.
Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Пусть у нас есть система N линейных уравнений
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3NxN = b3
...
aN1x1 + aN2x2 + aN3x3 + ... aNNxN = bN
где xi - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.
Цель задачи - зная aij и bi найти xi.
Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1
a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
a33x3 + ... a3NxN = b3
...
... aNNxN = bN
Особенность этой системы - в строках с номером i все коэффициенты aij при j<i равны нулю.
67. Теорема Крамера.
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Нахождение главного детерминанта
Нахождение вспомогательных определителей (замена i столбца на свободные члены)
xi = Di/D
68. Понятие координаты геометрической точки. Аффинная система координат на плоскости. Декартова система координат.
Координаты геометрической точки – это числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости или в пространстве.
Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. В n-мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O.
Декартова система координат – прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. На плоскости задается точкой О (начало координат) и и упорядоченной парой приложенных к ней неколлинеарных векторов e1 и e2. А в пространстве аналогически, только трех некомпланарных векторов. (х – абсцисса, у - ордината)
69. Линия на плоскости. Уравнение линии на плоскости.
Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.
Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат
- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу
- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Общее уравнение прямой с нормальным вектором n={A,B} и прохо-
дящей через точку М0(x0;y0) A(x-x0)+B(y-y0)=0.