56. Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции по аргументу х_i называется

57. Частные производные высших порядков. Изменение порядка дифференцирования.

Частные производные по переменным х и у от функций , если они существуют, называются частными производными второго порядка и обозначаются следующими символами

Частные производные второго порядка вида , называются смешенными частными производными.

Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой открытой области, то они совпадают. Другими словами, для непрерывной смешанной частной производной порядок дифференцирования не играет роли.

58. Сложная функция двух переменных. Частные производные функции двух переменных.

Сложная функция двух переменных – это функция от от двух функций.

Пусть z = F(u, v) — некоторая сложная функция двух переменных u и v. В свою очередь переменные u и v являются функциями u = φ ( x, y), v = ψ ( x, y) переменных х и у.

Частной производной функции z=f(x,y) по аргументу x называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента аналогично и по переменной y . Кроме того, частные производные могут обозначаться как: . При вычислении частных производных по одной из переменных вторая переменная считается постоянной.

59. Дифференциал функции двух переменных.

Df(x,y) = df/dx*dx + df/dy*dy (df/dx и df/dy – частные производные)

60. Максимум и минимум функции двух переменных.

Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M₀(x₀,y₀), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x,y) некоторой окрестности точки M₀. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке M₀(x₀,y₀), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Достаточное условие существования экстремума: Пусть M₀(x₀,y₀) стационарная точка функции z=f(x,y). Обозначим , , и составим дискриминант .

Тогда: если , то функция имеет в точке M₀ экстремум, а именно максимум при , и минимум при ;

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

61. Векторы. Действия с векторами, линейное векторное пространство.

Вектор есть направленный отрезок, то есть отрезок с фиксированным положением своего начала и своего конца.

1) Сумма (разность) векторов:

(правило треугольника)

(правило параллелограмма)

2) Сложение (вычитание) векторов есть сумма (разность) из соответствующих координат.

3) Умноженеи вектора на число, есть умножение каждого координата на это число.

Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1) x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;

4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;

5) 1∙x = x;

6) α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);

7) (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно числового множителя);

8) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительно векторного множителя).