2З. Понятие первообразной, основные свойства.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F '(x) = f(x) или dF(x) = f(x)·d x.

Любая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных.

Свойства: 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению .

2) Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого, т. е. .

3) Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.

4) Неопределенный интеграл суммы конечного числа функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций, т.е. .

24. Интегрирование способом подстановки.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку . Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

25. Метод интегрирования по частям (с выводом).

Применяется такая формула: ∫UdV = UV- ∫VdU; dU = U’dx, ∫dV = V

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где — многочлен -ой степени.

26. Основные табличные интегралы.

27. Разложение действительного многочлена на множители.

1) Вынесение общего множителя за скобку

2) Применение формул сокращённого умножения

3) Применение выделения полного квадрата

Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов.

4) Группировка

Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5) Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.

Метод неопределённых коэффициентов.

29. Интегрирование рациональных функций.

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение: .

Запишем рациональную функцию в следующем виде: Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ....

30. Интегрирование простейших иррациональностей.

1) Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида , где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты. Правило интегрирования .

2) Использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида , где p – рациональная дробь. Правило интегрирования .

3) приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида , где p и q – действительные коэффициенты. В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня