- •Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
- •Предел последовательности. Сходимость.
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Признаки сходимости последовательностей.
- •5. Определение функции. Способы задания функций.
- •6. Классификация элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.3амечательные пределы.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11. Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- •17. Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формулы Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
- •21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •2З. Понятие первообразной, основные свойства.
- •24. Интегрирование способом подстановки.
- •25. Метод интегрирования по частям (с выводом).
- •26. Основные табличные интегралы.
- •27. Разложение действительного многочлена на множители.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29. Интегрирование рациональных функций.
- •30. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •31. Биномиальный интеграл.
- •36. Понятие определенного интеграла.
- •37. Основные свойства определенного интеграла.
- •49. Интегрирование функций, имеющих разрывы второго рода.
- •56. Частные производные функции нескольких переменных.
- •57. Частные производные высших порядков. Изменение порядка дифференцирования.
- •58. Сложная функция двух переменных. Частные производные функции двух переменных.
- •59. Дифференциал функции двух переменных.
- •60. Максимум и минимум функции двух переменных.
- •61. Векторы. Действия с векторами, линейное векторное пространство.
- •62. Линейная комбинация векторов. Базис линейного векторного пространства.
- •63. Определение матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.
- •64. Квадратные матрицы. Определитель квадратной матрицы. Способы вычисления определителей.
- •65. Система линейных уравнений. Свойства решений. Теорема Кронекера-Капелли.
- •66. Метод Гаусса.
- •67. Теорема Крамера.
- •68. Понятие координаты геометрической точки. Аффинная система координат на плоскости. Декартова система координат.
- •69. Линия на плоскости. Уравнение линии на плоскости.
- •70. Масштаб. Изменение масштаба. Преобразования сдвига и поворота плоской системы координат.
- •72. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой линии.
- •73. Системы координат в пространстве. Общее уравнение прямой линии.
- •74. Определение эллипса, фокусы эллипса, каноническое уравнение эллипса. Окружность как частный случай эллипса.
- •75. Определение гиперболы и параболы. Понятие кривой второго порядка, квадратичные формы.
- •76. Преобразование координат на канонические формы кривых второго порядка.
31. Биномиальный интеграл.
Неопределенные интегралы иррациональных функций вида находятся методом подстановки.
В зависимости от рациональных чисел m, n и p вводят следующие новые переменные:
1) Если p - целое число, то принимают , где N - общий знаменатель чисел m и n.
2) Если - целое число, то , где N - знаменатель числа p.
3) Если - целое число, то вводят новую переменную , где N - знаменатель числа p.
З2. Интегрирование функции R(sinx, cosx).
33. Интегрирование функции , а>0.(1-я подстановка Эйлера).
Подстановка Эйлера - замена переменной х=x(t) в интеграле.
34. Интегрирование функции , с>О. .(2-я подстановка Эйлера).
35. Интегрирование функции , b>0. (З-я подстановка Эйлера).
36. Понятие определенного интеграла.
Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ→0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x )по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом: , или .
37. Основные свойства определенного интеграла.
1) Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(x), осью абсцисс, и прямыми х=а, х=b.
2) Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то значение определённого интеграла изменится на противоположное .
3) Если промежуток интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю .
4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла .
5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .
6) Если промежуток интегрирования разбит на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по каждой части. .
7) Если на отрезке [a, b], где а < b, имеет место неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g (x), то .
8) Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], где а < b, то найдется такое значение c є [a, b], что .
38. Основные условия интегрируемости функций.
1) Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
2) Для того чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы . (S и s – суммы Дарбу)
39. Связь определенного интеграла с первообразной.
Формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между определённым интегралом от данной функции и первообразной для этой функции, то есть между определённым и неопределённым интегралами.
40. Формула Ньютона-Лейбница.
41. 3амена переменной в определенном интеграле.
Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], а = φ (α), b = φ (β) и функция f (x) непрерывна в каждой точке x = φ (t), где t є [α, β]. Тогда справедливо равенство
Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.
42. Вычисление определенного интеграла по частям.
43. Вычисление площади плоской фигуры.
Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох, прямыми х = а, х = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x) на [ а, b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией и площадь её можно вычислить по формуле .
44. Вычисление объема тела вращения.
45. Вычисление длины дуги плоской кривой.
46. Вычисление площади поверхности тела вращения.
47. Среднее значение функции. Интегральная теорема о среднем.
Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями.
Теорема о среднем. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], где а < b, то найдется такое значение c є [a, b], что .
48. Интегрирование функций, неопределенных в конечном числе точек.
Пусть функция y = f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [а, t], т.е. функция определена для произвольного значения t ≥ a. Несобственным интегралом (интегралом первого рода) от функции f(x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.
Выделяют следующие две задачи:
а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
б) вычисление значения интеграла в случае, если несобственный интеграл сходится.
В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.
По аналогии с определяется несобственный интеграл на полуинтервале (-∞, b]: Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.