16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка.

формула Лейбница

дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала n -1-го порядка.

Имеют место следующие формулы:

17. Производные основных элементарных функций.

18. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.

Ролля: Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b] и имеет производную в каждой точке этого промежутка, а на концах принимает равные значения f(a)=f(b), то её производная хотя бы один раз обратится в ноль на интервале (a; b).

Лагранжа: Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b] и имеет производную в каждой точке этого промежутка, то отношение , в некоторой точке с, лежащей внутри этого промежутка.

19. Теорема Коши. Формулы Тейлора и Маклорена.

Коши: Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c є(a, b), такая, что справедлива формула .

Формула Тейлора: Пусть функция f(x) имеет в точке x0 все производные до n-го порядка включительно. Тогда ее можно представить в виде Эта формула носит название формулы Тейлора и она является одной из важнейших формул математического анализа. Слагаемое называется остаточным членом.

Формула Маклорена: Частный случай, если вместо x₀=0 (тоже самое)

20. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей типа и . Предел отношения функций равен пределу отношению их производных.

21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.

Наименование экстремум объединяет понятия максимуму и минимуму функции.

Функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке x=a, если значение f(a) больше (меньше) всех соседних значений.

Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Если , то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k·x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями , .

22. Правила исследования функций.

1. Найти область определения функции

2. f(-x) = f(x) – четная; симметрично OY

f(-x) = -f(x) - нечетная; симметрична (0;0)

3. lim f(x), при x→∞; lim f(x), при x→ -∞; lim f(x), при x→ x₀ - + 0;

4.Точки пересечения f(x)=0 с OX; x=0 c OY

5. Точки экстремума f’(x)=0

6. Найти вторую производную. (+ min, - max)