1.Понятие производной функции.Непрерывность и дифференцируемость функций.

Пусть f(x) нек.ф-ия опред на интервале (а;в) и х(фикс точка) принадлежит (а;в) возьмем произв т.х из инт ав разность (х- )-приращ арг f(x) и обознач x=х- . Приращ ф-ии f(x) в т. назыв разность между знач ф-ии в т. х и . f(x)=f(x)-f( )=f( + x)-f( ) т.к. х0-фикс то f(x) от x –явл приращ произв f(x) в т. -предел отнош прир ф-ии f(x) x к соотв прир арг дельтаХ когда x( ) стрем к 0: f `( ) (1!) Если предел(1!) сущ,то гов.что ф-ия f(x) име. Произв в т. или ф-ия диффиринцируема в т. Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).По условию теоремы Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b). f( .Теорема доказана.Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция y= непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же y= имеем, если x = 0 придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом, .Следовательно, функция y= недифференцируема при x = 0. Дифференцируемость ф-ии: Если f диф в нек. т. , то она не прерывна в этой точке. Док-во. Пусть арг. х в т. получ.прир. если соотв нек прир ф-ии рассмотрим очер.тождество ф-ия у=f(x) – непрер в т.0 обрат.т.НЕ ВЕРНА! Сущ непрер ф-ии кот в нек.т.не явл. диф.

2.Непосредственное нахождение производной.

Произв.люб ф-ии в тех случаях,когда ее сумму можно найти исходя из (1!)

3. Основные правила и формулы дифференцирования.

В ыч.произпо опред.к дост.сл.выкладкам поэтому в анализе был предложен ед.мет.позв.нах.произв.для очень шир.класса ф-ии(в том числе для люб эл-та ф-ии) при помощи осн. Ф-л и прав.диф.

4.Лографмическое дифф.

Прием логарифм дифф исп когда ф-ия имеет вид удобн.для лог и свод к след схеме 1)ф-ию y 2)log 3)нах произв.(log|y|)` помня,что есть ф-ия от х 4) из получ рав-ва у`

5.Геом.Смысл произв.Касательная и нормаль к плоской кривой.

Г еометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.В этом и состоит геометрический смысл производной.