12. Применение производной к вычислению пределов. Теорема Лопиталя – Бернулли.

О тношение бесконечных малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида .

П оскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим: для конечного предела и для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

П усть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где  — 0(1). Запишем это условие:

..

З афиксируем из отрезка и применим Теорему Коши ко всем из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и  —константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где  — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Е сли же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

13. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследование ф-ии и построение графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нах.наиб и наим знач-я ф-ии на некотором интервале. Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X. К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке . Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции. Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

найти область определения функции;

найти производную функции;

решить неравенства и на области определения;

к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.