- •1.Понятие производной функции.Непрерывность и дифференцируемость функций.
- •6.Произ.Высших порядков.
- •7 .Производные неявной ф-ии.
- •10. Диф.Высших порядков.
- •11. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы о среднем).
- •12. Применение производной к вычислению пределов. Теорема Лопиталя – Бернулли.
- •Отношение бесконечно больших
- •13. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия.
- •14. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия.
- •Алгоритм.
- •Третий достаточный признак экстремума функции.
- •15. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •16. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия.
- •Определения и понятия.
- •17. Асимптоты графика функции, их виды и условия существования.
- •18. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
- •19. Функции 2-х и 3-х переменных: способы задания, область определения и графики.
- •20. Частные производные 1-го порядка функции 2-х переменных. Их геометрический смысл.
- •Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по X функции f(X,y,z) в точке m0(x0,y0,z0) к вызвавшему его
- •24. Полный дифференциал фнп. Инвариантность его формы.
- •Теорема об инвариантности дифференциала
- •25. Приложения полного дифференциала к приближенным вычислениям.
- •28. Неявные фнп и их дифференцирование.
- •29. Экстремум фнп. Необходимое и достаточные условия экстремума.
- •50. Несобственные интегралы от бесконечных функций (|| рода).
- •53. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
17. Асимптоты графика функции, их виды и условия существования.
Асимптоты графика функции.
Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.
Опр.8.6.1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен или . Из этого определения следует, что прямая может быть вертикальной асимптотой графика функции только в случае, когда точка - точка разрыва второго рода этой функции.
Опр.8.6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если функцию можно представить в виде , где при (или , или ). Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, соответствующая случаю . Из определения наклонной асимптоты следует, что прямая будет горизонтальной асимптотой графика функции , если при (или , или ) функция .
Г рафик функции может приближаться к своей асимптоте, оставаясь
выше её ниже её колеблясь вокруг ее
Если условия определения наклонной (или горизонтальной) асимптоты выполняются при , будем называть эту асимптоту односторонней левой (или левосторонней, или просто левой); если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту односторонней правой (или правосторонней, правой); в случае, если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту двусторонней (или просто асимптотой, не уточняя направления).Условия существования наклонной (и, как следствие, горизонтальной) асимптоты даёт следующая теорема, которую мы сформулируем и докажем для случая (остальные случаи рассматриваются аналогично).
Теор.8.6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы .
Док-во. Необходимость. Пусть прямая - наклонная асимптота графика функции при , т.е., согласно определению, , где при . Тогда . Переходим к пределу при . , следовательно, . С другой стороны, в этом случае , и так как существует предел правой части этого равенства, то существует и предел левой части, и . Достаточность. Пусть два указанных предела существуют, тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её пределом) ( - БМ при ), т.е. прямая - действительно наклонная асимптота графика функции при .
18. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Исследование функции, построение графика
В этом разделе Вы найдете различные примеры на тему полного исследования функции для различных типов функций: экспонента, логарифм, корень, многочлен, дробно-рациональные функции.
Общая схема исследования функции и построения ее графика:
Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Найти точки пересечения с осями координат
Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Найти наклонные асимптоты функции.
Построить график функции.