24. Полный дифференциал фнп. Инвариантность его формы.

Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений  и . Дифф.ф-ии нескольких переменных как и ф-ии одного действительного переменного,имеет свойство,которое называают инваниантивностью формы записи дифф.Фактически это свойство есть простая и удобная форма представления правила дифф.сложной ф-ии.

Теорема об инвариантности дифференциала

Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

.

Следовательно, по определению

, но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

25. Приложения полного дифференциала к приближенным вычислениям.

Известное свойство дифф позволяет заменить точное выражение для обычно очень сложное,чрезвычайно простым выражение f ` ( )dx, в отыскании которого и стои дифф.А это действие,как мы видели без труда осуществляется по отношению к любой элементарной ф-ии. Итак,для малых

Приняв =dy мы заменяем данную ф-ию y=f(x),где х= линейной функцией

У=f(

Определяемой тем,что ее значение и значение ее производной при х= равны соответственно f( ) и f `( ).

Геометрически это равносильно замене линиии,являющейся графиком ф-ии у=f(x) касательной к ней в точке М( такая замена вообще говоря только в достаточно малой окрестности точки приводит к таким ошибкам,которыми можно пренебречь в изучаемом вопросе.Недостаток нашей формулы заключ.в том,что не указывается погрешность,хар-щая ее точность. Мы знаем,что при относительная ошибка стремится к нулю,но мы не умеем ее оценить при данном численном значении .

26. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалы высших порядков -производная от производной порядка (n-1)

Для дифференцирования высших порядков используются те же самые привила что и для обычных

Формула Лейбница для  -ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай  -кратного дифференцирования.   

 Производные функции, заданной параметрически 

27. Дифференцирование сложных ФНП. Полная производная.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t) , y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t₀ , причем x(t₀) = x₀ , y(t₀) = y₀ .

Тогда в окрестности точки t₀ определена сложная функция аргумента t

z = f(x(t), y(t)).

Теорема 1. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀) и ее аргументы x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t₀ , причем x(t₀) = x₀ , y(t₀) = y₀ .

Тогда сложная функция z = f(x(t), y(t)) переменной t дифференцируема в точке t₀ и ее производная вычисляется по формуле