80. Алгебра логики и ее основные законы(дописать)

Матем аппаратом для анализа и синтеза цифр устройств служит алгебра логики, оперирующая логич. связями. Ф-ция двоичных переменных, принимающая значения «1» и «0», наз логичейской ф-цией. Логич ф-ция может быть выражена словесно, в алгебр форме или переключательной таблицей (таблица истинности).

Аналитические формы записи ф-ций позволяют получить осн. законы алгебры логики отдельно для операций логич-го сложения и умножения.

Осн законы алгебры логики:

1. Переместительный закон (закон коммутативности)

X₁X₂ = X₂X₁; X₁+X₂ = X₂+X₁.

2. Распределительный закон (закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению)

(X₁+X₂)X₃ = X₁X₃+X₂X₃.

3. Сочетательный закон (закон ассоциативности)

(X₁X₂)X₃ = X₁(X₂X₃) (X₁+X₂)+X₃ = X₁+(X₂+X₃)

4. Законы повторения (тавтологии)

XX = X; X+X = X.

5. Законы поглощения

X₁(X₁+X₂) = X₁; X₁+X₁X₂=X₁.

6. Законы отрицания:

а) закон дополнительности

; ;

б) закон дуальности ‑ правило де Моргана (инверсия суммы переменных есть произведение их инверсий)

; ;

в) закон двойного отрицания

.

7. Законы склеивания

; .

8. Законы универсального множества

X1 = X; X+1 = 1.

9. Законы нулевого множества

X0 = 0; X+0 = X.

Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме и переключательной таблицей (таблицей истинности).

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (дизъюнкция, операция ИЛИ) на языке электронной схемы означает наличие напряжения на выходе схемы, при наличии на одном из входов напряжения:

или y = x₁+x₂.

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (конъюнкция, операция И) означает в электронной схеме наличие напряжения на выходе, при наличии всех входных сигналов.

или y = x₁·x₂.

Для обозначения конъюнкции часто используют символ  или &, т.е. y=x₁x₂.

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (инверсия, операция НЕ) означает, что состояние на выходе схемы противоположно состоянию на ее входе.

и читается: (U_вых не U_вх).

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ ИЛИ–НЕ образуется путем отрицания результатов, полученных при выполнении операции ИЛИ. При входных сигналах, равных единице, сигнал на выходе соответствует логическому нулю, а при нулевых сигналах на всех входах сигнал на выходе равен "1" (таблица истинности рис. 9.10,в).

Алгебраическая запись операции ИЛИ–НЕ следующая:

ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ И–НЕ. Функция И–НЕ образуется путем отрицания результата, получаемого при выполнении операции И. Число входов элемента И–НЕ определяется числом аргументов функции И–НЕ. При подаче логического нуля на один из входов на выходе образуется логическая единица. Если на всех входах действует логическая единица, то сигнал на выходе равен логическому нулю. Логическая операция И–НЕ записывается следующим образом

логические элементы делятся на потенциальные, импульсные и импульсно-потенциальные. Подавляющее распространение, особенно в интегральной микросхемотехнике, получили потенциальные ЛЭ, отличительным признаком которых является:

– наличие связи по постоянному току между входами и выходами микросхем;

– возможность быть управляемыми и управлять другими схемами с помощью сигналов как ограниченной, так и неограниченной длительности (импульсные и потенциальные сигналы).

В зависимости от кодирования сигналов различают положительную и отрицательную логику.