15.Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями.

   

Для изучения законов теории вероятностей введем основные понятия. Одним из них является понятие события.

   Определение: Событие -явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо комплекса условий.

   Осуществление комплекса- испытание или опыт.

Сами испытания проводятся человеком или природой. Условия могут меняться помимо воли испытателя, поэтому исходом испытания может быть не ожидаемое событие, а какое-либо другое заранее неизвестное, которое называется случайным.

   Определение: Случайное событие- это событие, которое может произойти или не произойти в результате одного испытания.

Обозначение событий- заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т.д..

Примеры: Испытание- бросание монеты. Случайные события- выпадение герба или цифры.

Испытание- выстрел по мишени. Случайные события- выбивание количества очков от 0 до 10.

Рассмотрим пример: из урны, содержащей 5 красных шаров, вынимают два шара. Событие - оба шара- красные произойдет обязательно, а событие- один из них белый- произойти не может. Первое из этих событий называется достоверным, а второе -невозможным.

 Определения:

Достоверное событие- это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

Невозможное событие- это событие, , которое не может произойти в результате испытания.

В результате испытания может появиться то или иное событие. Причем возможны различные ситуации. Рассмотрим примеры. При бросании монеты возможны события- выпадение герба и выпадение цифры. Но одновременно эти события произойти не могут.  При бросании игральной кости(кубика) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий- выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.

 Определение: События А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого.

Теперь рассмотрим другую ситуацию. Проводим испытание- бросание кубика. Рассмотрим события: А- появление четного количества очков, В- появление количества очков, кратных трем. Эти два события могут произойти одновременно при выпадении 6 очков. Такие события называются совместными.

 Определение: События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного не исключает появление другого.

 По отношению к двум событиям, ожидаемым при проведении одного испытания, может возникнуть  такая ситуация, когда не появление одного из них обязательно повлечет за собой появление другого. Такие события называются противоположными. Обозначение: для события А противоположным является А (не А).

 Определение: События А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если  не появление одного влечет появление другого.

Пример: испытание- контрольная работа. События- студент справился с работой и- не справился. В результате испытания обязательно произойдет либо первое, либо второе.

Рассмотрим список событий, которые могут произойти в результате одного испытания. Испытание- выстрел по мишени. События:

Аi- выбито i  очков, где i=0-10;

В- выбито менее 10 очков;

С- выбито четное количество очков.

События Аi, где i=0-9, влекут за собой событие В; События А₀, А₂, А₄, А₆, влекут за собой событие С.

Говорят, что события Аi, где i=0-9, благоприятствуют событию В; А₀, А₂, А₄, А₆- благоприятствуют событию С.

 Определение: Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

Рассмотрим примеры перечисления всех возможных благоприятствующих событий для какого- либо данного события.

Испытание- бросание двух одинаковых кубиков. Событие- выпадение очков, сумма которых равна 6.

Для данного события возможны три благоприятствующих А₁, А₂ и А₃.

С понятием благоприятствующее событие связано понятие - полная группа событий. Введем его на конкретном примере.

Рассмотрим группы событий испытания - выстрел по мишени:

1.      Аi, i=0-10, выбивание i очков;

2.      Четное В  и нечетное С количество очков;

3.      Выбивание очков меньше 5- событие D, выбивание очков больше 4 - событие Е.

В каждой группе какое -либо событие в результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной группой событий.

 Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

 Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.

 Два противоположных события составляют полную группу.

Составим полную группу событий для испытания- подбрасывание трех монет одновременно (без учета порядка следования).

Выпадение герба обозначим Г,  цифры- Ц. Каждое элементарное событие запишем в виде сочетания этих обозначений: ГГГ, ГЦЦ, ГГЦ, ЦЦЦ. Полная группа состоит из 4-х элементарных событий. В результате испытания обязательно выпадет какая-либо из этих комбинаций.