Операции над событиями.

            Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. 

            Определение. Объединением или суммой событий А_k называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий А_k.

            Определение.  Пересечением или произведением событий A_k  называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий A_k.

            Определение. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

            Определение. Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие Ане происходит.

            Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

            Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

16. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Классическая вероятностная схема.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий . На этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1. Каждому случайному событию из поля событий поставлено в соответствие неотрицательное число называемое вероятностью, такое, что

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице:

Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Примечания:

• Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть – пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда ( ) = _, и не имеет общих элементов с . Следовательно:

(1.14)

• Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.

Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной _. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте:

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал “герб”, выпала “цифра”.

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.