Простейшие задачи на плоскости Расстояние между двумя точками

M ₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂)

.

Деление отрезка в данном отношении

Т очка M(x,y) делит отрезок M₁M₂ в отношении , если . Тогда а отсюда и координаты точки М находятся по формулам: .

Координаты середины отрезка С получаются при М₁М=ММ₂, то есть :

Отметим, что число  не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М₁М₂, так как при изменении направления на противоположное  не меняется.

Прямая линия на плоскости Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости xoy получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0.

Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением

Ax+By+C=0.

Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси ox (оси oy). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку (x₀,y₀) перпендикулярно вектору , ее уравнение принимает вид: .

Канонические и параметрические уравнения прямой

Если прямая проходит через точку (x₀,y₀) параллельно направляющему вектору , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде

и

где t – параметр, .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

П усть на плоскости заданы две точки M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂). Для того чтобы написать уравнение прямой, проходящей через эти точки, полагаем в соответствующем уравнении прямой в пространстве Тогда получаем искомое уравнение в виде

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

П усть прямая составляет угол  с осью OX. Угловым коэффициентом прямой k называется число .

Прямая может быть задана точкой М₁(x₁,y₁) и угловым коэффициентом k или двумя точками М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, если , тогда , где и . Прямая пересекает ось oy в точке P(0,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

Отсюда Таким образом, Уравнение полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффициентом k, если b = y₁ - k x₁.

Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду уравнения прямой «в отрезках»: . Прямая пересекает ось ox в точке А(а,0) и ось oy в точке В(0,b).

Нормальное уравнение прямой

П усть известно расстояние от прямой до начала координат и угол  между перпендикуляром к прямой и осью ox. Из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z = 0 и учитывая, что

,

получаем нормальное уравнение прямой на плоскости в виде:

.

Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель . Знак числа  должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью ox равен  и угол между прямой и осью oy равен , то .

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M₀(x₀,y₀) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой , d = ||,

где .

По этой формуле  положительно, если точка М₀ и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае  отрицательно.

Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0, то координаты точки их пересечения (x₀, y₀) получаются как решение системы уравнений:

по формулам Крамера в виде:

при

Угол между двумя прямыми

П усть две прямые заданы уравнениями:

Острый угол  пересечения этих прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из следующих соотношений:

Отсюда .

Если прямые заданы общими уравнениями А₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0, то угловые коэффициенты прямых равны: и угол  между прямыми определяется формулой:

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Прямые y₁=k₁x+b₁ и y₂=k₂x+b₂ параллельны друг другу, если . Следовательно, , то есть k₁=k₂.

Прямые y₁=k₁x+b₁ и y₂=k₂x+b₂ перпендикулярны друг другу, если . Следовательно, , то есть k₁k₂ = -1. Отсюда .

Если прямые заданы общими уравнениями, то:

А₁В₁ – А₂В₁=0, – условие параллельности,

А₁А₂+В₁В₂=0 – условие перпендикулярности прямых.

Уравнение пучка прямых

Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку M(x₀,y₀), называется пучком прямых с центром М₀.

Если A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М₀; то уравнение A₁x+B₁y+C₁+ (A₂x+B₂y+C₂)=0

определяет все прямые пучка, кроме второй из прямых.

ПП 7.1. Прямая на плоскости
ПП 7.1. №1.	треугольник задан уравнениями трех его сторон: АС: х – 2у + 5 = 0, АВ: х + 2у – 3 = 0, ВС: 2х + у – 15 = 0. Определите следующие элементы треугольника: а) координаты вершин, б) уравнения высот, в) уравнения медиан, г) длины сторон, д) уравнения биссектрис, ж) центр и радиус вписанной окружности, з) центр и радиус описанной окружности, и) центр тяжести треугольника, к) внутренние углы треугольника, л) площадь треугольника. Решение: а) Координаты вершин треугольника находятся как точки пересечения соответствующих сторон. Так, например, координаты точки А являются решением системы уравнений А (-1, 2). Аналогично находятся В (9, -3) и С (5, 5). б) Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону. Так hc = CC1  AB. Уравнение высоты СС1 ищем как уравнение прямой у = k1x + b, если известен угловой коэффициент прямой АВ: равный Из условия перпендикулярности прямых k1 k2=-1  k1=2. Поскольку высота СС1 проходит через точку (5, 5), уравнение hc имеет вид: у – 5 = 2(х – 5) или у = 2х – 5. Анализ уравнений сторон АС: и ВС: у = -2х + 5 убеждает нас в том, что АС  ВС, и треугольник является прямоугольным, значит, уравнение hA: hB: у = -2х + 15. в) Медианой называется отрезок прямой, соединяющей вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Координаты середин сторон находятся по формулам деления отрезка в данном отношении: С2 (4, -1/2), В2 (2, 7/2), А2 (7, 1). Уравнение медианы mC = CC2 получается как уравнение прямой, проходящей через точки С и С2: или mC: 11х–2у–45=0. Аналогично mВ: 13х+14у–75=0, mА: x+8y–15=0. г) Длины сторон найдем по формуле расстояния между двумя точками: д) Биссектрисой треугольника называется лежащий в треугольнике отрезок прямой, которая делит его внутренний угол пополам. Укажем два способа нахождения уравнения биссектрисы треугольника. 1). Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. Если С3 – точка пересечения биссектрисы lC = CC3 со стороной АС, то Координаты точки С3 находим по формулам деления отрезка в данном отношении  = 3/4: С3 (23/7, -1/7). Уравнение биссектрисы lC = CC3 получается как уравнение прямой, проходящей через точки С3 и С (5, 5): или 3х – у – 10 = 0. 2). Уравнение биссектрисы lC = CC3 может быть найдено из условия того, что точки биссектрисы CC3 равноудалены от сторон АС и СВ. Вычислим отклонения точки (х, у), лежащей на биссектрисе, от сторон АС и СВ (см. п.2.7): АС и СВ отрицательны, так как начало координат и точки биссектрисы треугольника лежат по одну сторону от каждой из сторон АС и СВ. Учитывая, что d = , уравнение биссектрисы получим из равенства ,-АС = -СВ, которое принимает вид: или lC: 3х – у – 10 = 0. Для вычисления биссектрисы угла А lА применим второй способ. Отклонение отрицательно, так как начало координат и биссектриса lА лежат по одну сторону от стороны АС. Отклонение положительно, так как начало координат и биссектриса lА лежат по разные стороны от стороны АВ. Для биссектрисы lА справедливо -АС = АВ, то есть или х – 2у + 5 = х + 2у –3. Следовательно, 4у = 8. Таким образом, lА: у = 2. уравнение lВ: х+у – 6 = 0 может быть найдено одним из двух способов. ж) Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис lС и lА треугольника. Система уравнений, составленная из уравнений биссектрис: имеет решение х = 4, у = 2. Следовательно, центр вписанной окружности находится в точке О1 (4, 2). Радиус вписанной окружности найдем как расстояние от точки О1 до стороны АС: где х0 = 4, у0 = 2. Таким образом, з) Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров. Координаты середин сторон АС и АВ найдены в п.в): С2 (4, -1/2), В2 (2, 7/2). Уравнения линий серединных перпендикуляров находим аналогично вычислениям в п.б). Угловые коэффициенты равны 2 и -2 соответственно, и эти прямые проходят через точки С2 и В2, их уравнения имеют вид: Система уравнений, составленная из уравнений серединных перпендикуляров: , имеет решение х = 4, у = -1/2. Следовательно, центр описанной окружности находится в точке О2 (4, -1/2). Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине АВ: и) Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан. 1) Из п.в) имеем систему уравнений для определения координат центра тяжести как точки пересечения медиан mС и mB : Система имеет решение х = 4,33, у = 1,3. Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке О3 (4,33; 1,3). 2) Укажем, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины. Таким образом, координаты центра тяжести могут быть найдены как координаты точки О3, делящей медиану в отношении Если воспользоваться формулами деления отрезка в данном отношении, то координаты точки: и) Внутренние углы треугольника могут быть найдены через угловые коэффициенты прилежащих сторон. Например, внутренний угол при вершине А треугольника Следовательно,  А = arctg(4/3). к) По формуле площади треугольника имеем 1) 2) Площадь треугольника может быть вычислена по формуле: S = p  r, где p – полупериметр треугольника; r – радиус вписанной окружности. Поскольку (кв. ед.).	а) А (-1, 2), В (9, -3), С (5, 5), б) , у=-2х+15, у=2х–5, в) x+8y–15=0, 13х+14у–75=0, 11х–2у–45=0, г) , д) у = 2, х+у–6=0, 3х–у–10=0, ж) О1(4,2), , з) О2(4,-1/2), , и) , к) 30.
ПП 7.1. №2.	Найдите проекцию точки Р (4, 9) на прямую, проходящую через точки А (3, 1) и В (5, 2). Решение: Искомую точку М найдем, решая совместно уравнение прямой АВ с уравнением перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р. Уравнение перпендикуляра из точки Р на прямую АВ ищем в виде у – 9 = k (x – 4); из условия перпендикулярности М =
ПП 7.1. №3.	Постройте прямую 3х – 5у + 15 = 0. Решение: Уравнение прямой в отрезках имеет вид: прямая отсекает на осях отрезки (-5) и 3.	5х + 12у+ + 6 = 0
ПП 7.1. №4.	Даны две прямые 2х + 3у – 5 = 0, 7х +15у +1 = 0, пересекающиеся в точке М. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку М перпендикулярно к прямой 12х – 5у – 1 = 0. Решение: Прямые 2х + 3у – 5 = 0, , 7х +15у +1 = 0, пересекаются, так как они имеют разные угловые коэффициенты. Составим уравнение пучка прямых, проходящих через точку их пересечения М: 2х + 3у – 5 + l×(7х + 15у +1) = 0, (2 + 7l)×х + (3 + 15l)×у + (-5 + l) = 0 Выделим в этом пучке искомую прямую . По условию искомая прямая перпендикулярна прямой 12х – 5у – 1 = 0, для которой . , l = -1 и уравнение искомой прямой принимает вид: 5х + 12у + 6 = 0.
ПП 7.1. №5.	Напишите уравнение прямой L, проходящей через точку М (2, 1) под углом 45 к прямой L1: 2х + 3у +4 = 0. Решение: L1: 2х + 3у +4 = 0, . , М (2,1) ,
ПП 7.1. №6.	Составьте уравнение прямой L, параллельной прямым L1: х + 2у – 1 = 0 и L2: х + 2у +2 = 0 и проходящей посередине между ними. Решение: 1-ый способ. Уравнение прямой L будем искать в виде А(х – х0) + В(у + у0) = 0. В качестве нормального вектора можно выбрать нормальный вектор прямых L1 и L2, равный {1, 2}. Найдем какую-нибудь точку М0 (х0, у0)  L. Точка М0 будет делить пополам отрезок, соединяющий две любые точки, лежащие на L1 и L2. Например, М1 (1, 0)  L1 и М2 (-2, 0)  L2, тогда точка М0 имеет координаты (-1/2, 0), и уравнение прямой L принимает вид: х + 2у + 1/2 = 0. 2 –ой способ. Произвольная точка М (х, у)  L, если   (М, L1)  =   (М, L2) . Для снятия модуля определим знаки отклонений точки М (х, у) от прямых L1 и L2. Для этого нужно выяснить взаимное расположение начала координат, точки М (х, у) и прямых L1 и L2. Приведем уравнения прямых к нормальному виду: где - единичные векторы нормалей к прямым L1 и L2, проведенным из начала координат. Видим, что противоположны по направлению, значит, начало координат лежит в полосе между прямыми L1 и L2. Точка М и начало координат лежат по одну сторону как от прямой L1, так и от прямой L2, значит, отклонения точки М от прямых L1 и L2 имеют один и тот же отрицательный знак. Из следует, что х + 2у – 1 = -х – 2у – 2 и х + 2у + 1/2 = 0.	х+2у+1/2=0