2. Плотность распределения времени безотказной работы (частота отказов)

Плотность распределения времени безотказной работы f(t) - это плотность распределения случайной величины Т. Она наиболее полно характеризует Надежность техники в данный момент (точечная характеристика). По ней можно определить любой показатель надежности невосстанавливаемой системы. В этом состоит достоинство плотности распределения времени безотказной работы.

Производная от вероятности отказа по времени есть плотность вероятности, или дифференциальный закон распределения времени работы объекта до отказа, т.е.

(5)

Полученная математическая связь позволяет записать:

; (6)

Таким образом, зная плотность вероятности f(t), легко найти искомую величину P(t) и Q(t).

Соотношения (6) имеют место при любом законе распределения времени возникновения отказов.

Достоинством является следующее. Как плотность распределения вероятности, она наиболее полно характеризует случайное время возникновения отказов и по ней легко определить вероятность безотказной работы, математическое ожидание, дисперсию и другие удобные характеристики распределения.

К недостаткам плотности вероятности f(t) следует отнести то, что она характеризует надежность аппаратуры до первого отказа. Оценить с помощью частоты отказа надежность аппаратуры длительного пользования, которая может ремонтироваться, затруднительно. В общем случае надежность аппаратуры длительного пользования обычно характеризуется средней частотой отказа.

Под частотой отказов элементов понимают отношение числа отказавших образцов техники в единицу времени к числу испытуемых образцов при условии, что отказавшие образцы не восполняются исправными:

, (7)

где n(t, t+∆t) – число отказавших образцов за промежуток времени (t, t+∆t); N₀ – число образцов, первоначально поставленных на испытания; ∆t – длина промежутка времени.

Так как число отказавших образцов в интервале времени  может зависеть от расположения этого промежутка по оси времени, то частота отказов является функцией времени t.

Соотношение (7) следует из того, что f(t)=Q’(t)=–P’(t), а для малых значений ∆t

.

Если N(t) – число исправных образцов к моменту времени t, а N(t+ ∆t) - число исправных образцов к моменту времени t+∆t, то

На практике достаточно часто приходится определять условную вероятность безотказной работы объекта в заданном интервале времени Р(t₁,t₂) при условии, что в момент времени t₁ объект работоспособен и известны Р (t₁) и Р (t₂). По формуле вероятности совместного появления двух зависимых событий

,

откуда

(*)

По известным статистическим данным можно записать:

(**)

где N(t₁), N(t₂) - число объектов, работоспособных соответственно к моментам времени t₁ и t_2, т.е. N(t₁)=N₀ - n(t₁); N(t₂)=N₀ - n(t₂).

3. Среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа)

Средним временем безотказной работы (средней наработкой до отказа) T₁ называется математическое ожидание времени безотказной работы технического объекта (наработки объекта до первого отказа):

T₁=M(T).

Как математическое ожидание случайной величины с плотностью f(t), среднее время безотказной работы вычисляется по формуле:

Используя известную связь между f(t), Q(t) и P(t), запишем:

Интегрируя по частям, получим:

Учитывая, что Р(0) = 1, P(+)=0, полагая, что , получим:

. (8)

Таким образом, средняя наработка до отказа равна площади, образованной кривой вероятности безотказной работы P(t) и осями координат.

Среднее время безотказной работы является интегральным показателем надежности. Его основное достоинство — высокая наглядность. Недостаток этого показателя в том, что он, будучи интегральным, характеризует надежность техники длительного времени работы.

По статистическим данным об отказах T₁ определяется по формуле:

(9)

где N_o - число испытуемых образцов техники (в начале испытания); t_j – время безотказной работы j-го образца.

Из выражения (9) видно, что для определения среднего времени безотказной работы необходимо знать времена отказов всех образцов, над которыми производятся испытания. Поэтому при большом числе образцов предпочитают пользоваться формулой

                                                   

(10)

где n_i(t) - число образцов, отказавших в i -том интервале;

- среднее время i-го интервала ( );      

t_k- время, в течение которого отказали все N₀ образцов;

t - выбранная величина интервала времени.

Пример. В процессе эксплуатации приборов одного типа учитывалось число вышедших  из строя приборов в течении каждых 500 часов работы, при этом наблюдение велось за 200 одинаковыми приборами ( =200). в результате подсчета отказавших приборов получены данные, сведенные в табл.1.

По данным табл.1, пользуясь формулой (2), определим вероятность безотказной работы прибора к любому моменту времени:

Таблица 1.

Количество отказов приборов в i-ом интервале времени

Воспользовавшись формулой (4), определим вероятность отказа приборов, например, для тех же моментов времени:

Определим также среднюю наработку до отказа приборов по формуле (10):