- •Эконометрического моделирования План лекции
- •Введение
- •1.Предмет, цель и задачи эконометрики.
- •2.Этапы становления эконометрики
- •3. Введение в эконометрическое моделирование
- •4. Основные математические предпосылки эконометрического моделирования
- •5. Основные этапы и проблемы эконометрического моделирования
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 2. Парная линейная регрессия и корреляция План лекции
- •Введение
- •1. Модель линейной парной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •2. Коэффициент корреляции
- •3. Основные положения регрессионного анализа. Теорема Гаусса – Маркова
- •4. Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент детерминации
- •5. Построение интервальных прогнозов по модели парной регрессии
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 3. Множественный регрессионный анализ План лекции
- •Введение
- •1. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии
- •2. Оценка параметров классической регрессионной модели методом наименьших квадратов
- •3. Предпосылки для множественного регрессионного анализа.
- •Теорема Гаусса-Маркова.
- •4. Стандартизированное уравнение линейной множественной регрессии
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 4. Множественная корреляция План лекции
- •Введение
- •1. Множественная линейная корреляционная зависимость
- •2. Частные коэффициенты корреляции
- •3. Коэффициент множественной корреляции
- •4. Отбор факторов в случае линейной множественной регрессии
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 5. Линейные регрессионные модели
- •1. Суть гетероскедастичности, ее последствия
- •2. Тесты, позволяющие выявить наличие гетероскедастичности остатков
- •3. Устранение гетероскедастичности
- •4. Автокорреляция остатков, ее последствия. Обнаружение автокорреляции остатков
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 6. Линейные регрессионные модели
- •1. Фиктивные переменные
- •2. Модели регрессии с фиктивными переменными сдвига
- •3. Модели регрессии с фиктивными переменными наклона
- •4. Критерий г. Чоу
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 7. Модели временных рядов План лекции
- •Введение
- •1. Понятие временного ряда. Общий вид модели временного ряда
- •2. Проверка гипотезы существования тенденции
- •3. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция
- •Авторегрессия первого порядка. Тест Дарбина-Уотсона
- •4. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда
- •6. Процесс построения аддитивной модели временного ряда
- •7. Прогнозирование на основе моделей временного ряда
- •8. Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 8: модели с лаговыми переменными План лекции
- •Введение
- •1. Модели с распределенными лагами
- •2. Модели авторегрессии
- •3. Авторегрессионные модели и их моделирование
- •Контрольные вопросы:
- •Тема 9. Системы линейных одновременных уравнений План лекции
- •Введение
- •1. Структурная и приведенная формы моделей
- •2. Проблема идентификации
- •Матрица коэффициентов (1)
- •Матрица коэффициентов (2)
- •Матрица коэффициентов (3)
- •3. Оценивание параметров структурной модели
- •Условные данные по пяти регионам
- •Контрольные вопросы:
- •Используемая литература
2. Тесты, позволяющие выявить наличие гетероскедастичности остатков
Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей, так как для знания дисперсий отклонений необходимо знать распределение СВ Y, соответствующее выбранному значению СВ Х.
Не существует какого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Однако к настоящему времени для такой проверки разработано довольно большое число тестов и критериев для них. Рассмотрим наиболее популярные и наглядные: графический анализ отклонений, тест ранговой корреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Гольдфельда-Квандта.
1).Графический анализ остатков.
Использование графического представления отклонений позволяет определиться с наличием гетероскедастичности. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Х (либо линейной комбинации объясняющих переменных , а по оси ординат либо отклонения , либо их квадраты . Примеры таких графиков приведены на рис. 5.3.
На рис. 5.3,а все отклонения находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс. Это говорит о независимости дисперсий от значений переменной Х и их постоянстве, т.е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности.
На рис. 5.3, б-д наблюдаются некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями переменной Х и квадратами отклонений . Рис. 5.3, б соответствует примеру из пункта 1. На рис. 5.3, в отражена линейная, 5.3, г – квадратичная, 5.3, д – гиперболическая зависимости между квадратами отклонений и значениями объясняющей переменной Х. Другими словами, ситуации, представленные на рис. 5.3, в-д, отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.
Рис. 5. 3
2).Тест ранговой корреляции Спирмена
При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений Х. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклонений и значения СВ Х будут коррелированны. Значения и ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:
, (5.1)
где - разность между рангами и ; -число наблюдений.
Например, если является 25-м по величине среди всех наблюдений Х, а является 32-м, то .
Доказано, что если коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то статистика
(5.2)
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы .
Следовательно, если наблюдаемое значение -статистики, вычисленное по формуле (5.2), превышает (определяемое по таблице критических точек распределения Стьюдента), то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности. В противном случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.
3).Тест Парка.
Р.Парк предложил критерий определения гетероскедастичности, дополняющий графический метод некоторыми формальными зависимостями. Предполагается, что дисперсия является функцией -го значения объясняющей переменной. Парк предложил следующую функциональную зависимость:
. (5.3)
Прологарифмировав (5.3), получим:
. (5.4)
Так как дисперсия обычно неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений .
Критерий Парка включает следующие этапы:
Строится уравнение регрессии .
Для каждого наблюдения определяются .
Строится регрессия
, (5.5)
где .
В случае множественной регрессии зависимость (5.5) строится для каждой объясняющей переменной.
Проверяется статистическая значимость коэффициента уравнения (5.5) на основе -статистики . Если коэффициент статистически значим, то это означает наличие связи между и , т.е. гетероскедастичности в статистических данных.
4).Тест Глейзера.
Тест Глейзера по своей сути аналогичен тесту Парка и дополняет его анализом других (возможно, более подходящих) зависимостей между дисперсиями отклонений и значениями переменной . По данному методу оценивается регрессионная зависимость модулей отклонений (тесно связанных с ) от . При этом рассматриваемая зависимость моделируется следующим уравнением регрессии:
. (5.6)
Изменяя значение , можно построить различные регрессии. Обычно Статистическая значимость коэффициента в каждом конкретном случае фактически означает наличие гетероскедастичности. Если для нескольких регрессий (5.6) коэффициент оказывается статистически значимым, то при определении характера зависимости обычно ориентируются на лучшую из них.
5).Тест Гольдфельда-Квандта.
В данном случае также предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению переменной Х в этом наблюдении, т.е. . Предполагается, что имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.
Тест Гольдфельда-Квандта состоит в следующем:
Все наблюдений упорядочиваются по величине Х.
Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей соответственно.
Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки ( первых наблюдений) и для третьей подвыборки ( последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям Х верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений ).
Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая -статистика:
. (5.7)
Здесь - число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий ( - количество объясняющих переменных в уравнении регрессии).
При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная -статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы .
Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется (здесь - выбранный уровень значимости).
Естественным является вопрос: какими должны быть размеры подвыборок для принятия обоснованных решений? Для парной регрессии Гольдфельд и Квандт предлагают следующие пропорции: .
Для множественной регрессии данный тест обычно проводится для той объясняющей переменной, которая в наибольшей степени связана с . При этом должно быть больше, чем . Если нет уверенности относительно выбора переменной , то данный тест может осуществляться для каждой из объясняющих переменных.
Этот же тест может быть использован при предположении об обратной пропорциональности между и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера примет вид: .