3. Введение в эконометрическое моделирование

Пример. Допустим, мы хотим продать автомобиль и решили дать объявление о продаже в газете. Естественно, перед нами встает вопрос: какую цену указать в объявлении?

Очевидно, мы будем руководствоваться информацией о цене, которую выставляют другие продавцы подобных автомобилей, т.е. обладающие близкими значениями таких факторов, как год выпуска, пробег, мощность двигателя. Просмотрев колонку объявлений, мы формируем свое мнение о рынке нашего товара и назначаем цену.

На этом простейшем примере можно проследить основные моменты эконометрического моделирования:

Мы ставим задачу определить цену – величину, формируемую под воздействием некоторых факторов (год выпуска, пробег и т.д.). Такие зависимые величины называют зависимыми (объясняемыми, эндогенными) переменными, а факторы, от которых они зависят – объясняющими (экзогенными) переменными.

Указанная конкретная цена – наблюдаемое значение зависимой переменной, зависит также и от случайных явлений – таких как потребность продавца в конкретной денежной сумме, сроки продажи автомобиля и др.

Продавец-одиночка вряд ли будет строить какую-либо математическую модель, но менеджер крупного салона, специализирующегося на торговле автомобилями на вторичном рынке захочет знать более точное представление об ожидаемой цене и о возможном поведении случайной составляющей. Следующий шаг и есть эконометрическое моделирование.

Общим моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части – объясненную и случайную.

Задача моделирования: на основании экспериментальных данных определить объясненную часть и рассматривая случайную составляющую как случайную величину, получить оценки параметров ее распределения.

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид

,

где – наблюдаемое значение зависимой переменной,

– объясненная часть, зависящая от значений объясняющих переменных,

– случайная составляющая.

Остановимся теперь на целях моделирования. Предположим, что получено следующее выражение для – цены автомобиля

где – ожидаемая цена автомобиля в усл.ед.(у.е.),

– срок эксплуатации (в годах),

– пробег (в тыс. км.).

Каково практическое применение результата?

Очевидно, во-первых, он позволяет понять как формируется цена на автомобиль. Во-вторых, он дает возможность выявить влияние любой составляющей на цену автомобиля.

Например, при у.е. – цена нового автомобиля. За счет увеличения срока эксплуатации на 1 год цена автомобиля уменьшается в среднем на 1000 у.е. Результат позволяет прогнозировать цену, если год выпуска известен.

4. Основные математические предпосылки эконометрического моделирования

Пусть имеется p объясняющих (экзогенных) переменных Х₁, Х₂, …, Х_р и зависимая эндогенная переменная У. Переменная У является случайной величиной, имеющей при заданных значениях факторов некоторое распределение. Если случайная величина У непрерывна, то можно считать, что ее распределение, при каждом допустимом наборе значений факторов (х₁, х₂, …, х_n) имеет условную плотность (у).

Объясняющие переменные X_j могут считаться как случайными, так и детерминированными, т.е. принимающими определенные значения. Проиллюстрируем это на примере продажи автомобиля (см. пункт 3). Мы можем заранее определить для себя параметры автомобиля и искать объявления о продаже автомобиля с такими параметрами. В этом случае случайной величиной остается только зависимая переменная – цена. Но мы можем случайным образом выбирать объявления о продаже. В этом случае параметры автомобиля (объясняющие, переменные) также оказываются случайными величинами.

Классическая эконометрическая модель рассматривает объясняющие переменные X_j как детерминированные. Однако, основные результаты статистического исследования модели остаются в значительной степени теми же, что и в случае, когда считать X_j случайными переменными.

Наиболее естественным выбором объясненной части случайной величины У является ее среднее значение – условное математическое ожидание М_х(У).

Уравнение М_х(У) = f (x₁, …, x_p) называется уравнением регрессии. При таком выборе объясненной части эконометрическая модель имеет вид

У = М_х(У) + ,

где  – случайная величина, называемая возмущением или ошибкой.

Заметим, что эконометрическая модель не обязательно является регрессионной, т.е. объясненная часть не всегда представляет собой условное математическое ожидание зависимой переменной.