6. Процесс построения аддитивной модели временного ряда

Процесс построения аддитивной модели (7.1) временного ряда с отсутствующей циклической компонентой включает следующие этапы:

1. Расчет значений сезонной компоненты S. Простейший путь оценки сезонности для ряда у₁,у₂,…,у_n с периодом сезонности ( = 12 для ежемесячных данных,  = 4 для ежеквартальных данных и ) заключается в вычислении разности между средним по всем одноименным месяцам (кварталам) и средним по всем данным.

к = 1,2,.., (7.12)

2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение z_i суммы трендовой и случайной компонент

u_i + _i = y_i – s_i  z_i

3. Аналитическое выравнивание уровней z_i, т.е. расчет значений u_i с использованием уравнения тренда. Аналитическое выравнивание осуществляется по математической модели тренда. Предполагая, что тренд имеет вид полинома, анализируют цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) _i = z_i – z_i-1 и вторые разности ряда _i – _i-1. Если примерно одинаковы _i, то ряд имеет линейный тренд

При вычислении удобно моменты времени пронумеровать так, чтобы Тогда параметры линейного тренда могут быть найдены по формулам

(7.12)

Если же вторые разности _i – _i-1 примерно постоянны, то для описания тенденции временного ряда следует выбрать многочлен второй степени u_t = b₀ + b₁t + b₂t².

2. Методика нумерации моментов времени, так, чтобы различна для рядов имеющих четное и нечетное число наблюдений. Так, если число наблюдений нечетное, то нумерация проводится так:

Год	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
t	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3

Если же число наблюдений четное, то нумерация соответственно:

Год	1997	1998	1999	2000	2001	2002
t	– 2,5	– 1,5	– 0,5	0,5	1,5	2,5

После выделения трендовой компоненты , случайная компонента получается как разность .

2. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Часто рассчитывают: среднюю абсолютную процентную ошибку (Mean Absolute Percentage Error):

7. Прогнозирование на основе моделей временного ряда

Одна из важнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда, как отмечено выше, состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент .

Ранее мы рассматривали точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной , т.е. определение точечных и интервальных оценок , полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных , расположенных вне пределов обследованного диапазона значений .

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущение представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным.

Положим, что возмущения удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т.е. условиям нормальной классической регрессионной модели.

Пример 3. По данным таблицы 2 дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторых товар на момент t = 9 (девятый год). (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).

Решение. Выше, в примере 2 получено уравнение регрессии т.е. ежегодно спрос на товар увеличивался в среднем на 25,7 ед. Надо оценить условное математическое ожидание . Оценкой является групповая средняя

Найдем оценку s² дисперсии ² по формуле

Вычислим оценку дисперсии групповой средней .

Подробно решение примера можно найти в [1], главе 5, с. 145.

В итоге получаем интервальную оценку прогноза среднего значения спроса:

или

сама интервальная оценка для у*(9) имеет вид:

или

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет заключено от 346,9 до 477,9 (ед.), а его индивидуальное значение – от 305,9 до 518,9 (ед.).

Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.