Переходные процессы

При воздействии перепада напряжения на цепь с реактивными элементами возникают нестационарные явления, например из-за заряда и разряда ёмкости. Если на цепь на рисунке 21 в момент t = 0 действует напряжение e(t), то по второму закону Кирхгофа можно записать: u_с + u_r = e(t), t ³ 0.

Рисунок 21 – Заряд ёмкости через сопротивление

Учитывая, что ток в цепи i = С и u_r = ir = rC и решая полученное дифференциальное уравнение, будем иметь выражения, описывающие поведение во времени напряжений на элементах и тока в них при фиксированном значении постоянной времени цепи t_ц = rC. Если цепь подключается к источнику постоянного напряжения U₀, то функция е(t) имеет вид скачка напряжения, а напряжение на ёмкости определяется выражением

. (2.43)

Ток в цепи и напряжение на сопротивлении определяются по формулам:

; . (2.44, 2.45)

Если напряжение на емкости к моменту включения равно U_н, то в этом случае напряжение u_c определяется формулой:

. (2.46)

Задание 29. Рассчитайте изменение во времени напряжения на ёмкости, тока в цепи и напряжения на сопротивлении схемы по рисунку 21, если на её входе действует скачок напряжения 10 В. r = 200 Ом, С = 1000 пФ. Полученные результаты отобразите на графике, отложив по оси абсцисс не менее шести постоянных времени цепи. Оцените изменение указанных величин за время, равное постоянной цепи.

При выполнении задания используйте литературу [3–5] и приведённые выше формулы. Обратите внимание на характер поведения полученных графиков, а изменение рассчитанных величин за время, равное постоянной цепи, попытайтесь увязать со значением натурального числа.

Операторный метод

Для расчета переходных процессов также широко используют операторный метод, в основе которого лежит преобразование Лапласа, позволяющее перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р: p = a + jw.

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования.

Различают прямое и обратное преобразования Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением (2.54) и позволяет перейти в комплексную плоскость.

, (2.47)

где f(t) – функция действительного переменного t, определенная при t³0 (при t<0, f(t) = 0). Обратное преобразование Лапласа определяют из решения (2.48):

, (2.48)

где с – константа из решения (2.47). Функция F(p) носит название изображения по Лапласу, а функция f(t) – оригинала. Для сокращенной записи преобразований используют следующую символику: f(t) ≑ F(p); f(t) ⇆ F(p); F(p) = L[f(t)] ,

где L – оператор Лапласа. Имеются специальные справочники, в которых приведены оригиналы и изображения широкого класса функций.

Базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме, можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами. При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изображениями I(р) и U(p), индуктивность L заменяется на pL, а емкость С – на l/pC при нулевых начальных условиях.

При ненулевых начальных условиях последовательно с pL добавляется источник напряжения Li(0_–), а с С – источник напряжения –и_с(0_)/р .

Задание 30. Для схемы на рисунке 21 справедливо уравнение . Рассчитайте операторным методом изменение во времени напряжения на ёмкости, если на её входе действует скачок напряжения 10 В. Сопротивление r = 200 Ом, С = 1000 пФ. Полученные результаты отобразите на графике, отложив по оси абсцисс не менее шести постоянных времени цепи. Оцените изменение найденной величины за время, равное постоянной цепи.

Используя литературу [3–5] и приведённый выше материал, а также справочники по математике с преобразованием Лапласа, запишите приведённое дифференциальное уравнение в операторной форме и решите его относительно u­_C. Затем перейдите в область действительного времени. Постройте график.