Символический метод

Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении элементов в режиме гармонических воздействий обычно осуществляется символическим методом. Символический метод позволяет тригонометрические операции над гармоническими колебаниями и геометрические операции над векторами свести к алгебраическим операциям над комплексными числами. В линейных цепях в режиме гармонических воздействий устанавливаются гармонические колебания той же частоты. То есть неизвестными параметрами токов и напряжений будут лишь амплитуды и фазы, определяемые однозначно их комплексными амплитудами ( ).

Для резистивного элемента R связь между комплексными амплитудами тока и напряжения можно определить по формуле: . Для индуктивного элемента эта связь (с учётом, что ) определится выражением: ; , гдe j = e^j/2 – множитель, характеризующий фазовый сдвиг между вектором тока и напряжением . Для емкостного элемента можно записать (с учётом, что ): или . При переходе к комплексной записи операции дифференцирования d/dt заменяются умножением на j , операции интегрирования – делением на j :

; . (2.31, 2.32)

Задание 24. В электрической цепи, состоящей из последовательно соединённых резистора сопротивлением 20 Ом, катушки индуктивности с индуктивностью 50 мГн и ёмкости 50 мкФ под воздействием приложенного напряжения частотой 50 Гц протекает ток 1 А с начальной фазой /4. Определите символическим методом падение напряжения отдельно на каждом из элементов и приложенное к цепи.

При выполнении задания используйте литературу [3, 4] и приведённые выше формулы. Определите падение напряжения переменного тока на участках цепи по закону Ома. Затем суммируйте их, как для последовательного соединения элементов. При суммировании отдельных напряжений используйте символический метод, проводя указанные выше замены.

Мощность в цепи переменного тока

Мощность в цепях при гармонических воздействиях может быть активной и реактивной. Если под воздействием напряжения u = U_msin(wt + φ_u) в элементе цепи будет протекать ток i = I_msin(t – _i), то отдаваемая источником в цепь за период Т средняя мощность определится:

, (2.33)

где φ = φ_u – φ_i – фазовый угол между приложенным напряжением и возникшим током.

По закону Ома U = IZ или (так как Z = R/cosj) U = RI/cos . И P = I²R = = U²G. Средняя за период мощность Р равна мощности, рассеиваемой на активном сопротивлении цепи. В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в ваттах (Вт).

В цепях гармонического тока также используют понятие реактивной мощности Q = UIsin = I²X = U²B, и комплексной мощности = P + jQ = UIcosj + + jsinj = UIe^jj = = . Модуль комплексной мощности называется полной мощностью: . Единица измерения реактивной и полной мощности – В·А.

Активная мощность равна реальной части, а реактивная – мнимой части комплексной мощности . А также cos = P/S.

Задание 25. В электрической цепи, состоящей из последовательно соединённых резистора сопротивлением 20 Ом, катушки индуктивности с индуктивностью 50 мГн и ёмкости 50 мкФ под воздействием приложенного напряжения частотой 50 Гц протекает ток 1 А с начальной фазой /2. Определите активную, реактивную, комплексную и полную мощность, выделяемую в этой цепи.

При выполнении задания используйте [3, 4] и приведённые выше формулы. Определите падение напряжения переменного тока на участках цепи по закону Ома, представляя реактивные сопротивления в символической форме: и . Мощность, выделяемую на отдельном элементе, определите с помощью выражений I²R и I²X. Затем проведите алгебраическое суммирование отдельных мощностей.

При работе с комплексными числами для их суммирования удобно использовать алгебраическую форму записи (А + jВ), а для перемножения комплексных чисел удобна тригонометрическая форма записи (U_me^j).