Последовательный колебательный контур

На рисунке 18 изображена схема резонансной цепи в виде последовательного колебательного контура с активным сопротивлением R, характеризующим потери в контуре.

Рисунок 18 – Последовательный колебательный контур

Если к контуру приложено гармоническое напряжение с частотой , то при X = =  L – (1/ C) = 0 на резонансной частоте  = ₀ = комплексное сопротивление контура носит чисто активный характер: = R.

Ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения . Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте ₀ будут равны друг другу (волновому сопротивлению):

. (2.34)

Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура . Добротность Q показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение.

Характер уравнений напряжений и токов в RLC-цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздействии является частотно-зависимым. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов Х_L и Х_C от частоты . Зависимости Х_L(), Х_C(), X(), Z() носят название частотных характеристик параметров цепи.

Зависимость действующего значения тока от частоты находится по формуле

(2.35)

Действующие значения напряжений на реактивных элементах можно найти согласно закону Ома:

U_L() = I()X_L() = . (2.36)

U_C() = I()X_C() = . (2.37)

Зависимости I(), U_L(), U_C() называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или резонансными характеристиками.

Задание 26. Составьте последовательный колебательный контур на частоту 1 МГц (полагаем сопротивление потерь в контуре равным 5 Ом). Рассчитайте и постройте АЧХ тока в контуре, напряжений на индуктивности и ёмкости. Напряжение, действующее на контур, равно 10 В.

Расчёт проведите с шагом 10 кГц для пяти точек ниже частоты 1 МГц и пяти точек выше, а также в точке 1 МГц.

При выполнении задания используйте работы [3, 4] и приведённые выше формулы. Выберите величину ёмкости контура в пикофарадах равной длине волны в метрах (_М = 300/f_МГц). Индуктивность определите из формулы для резонансной частоты. Все три графика постройте на одном поле.

При необходимости примените логарифмический масштаб по оси частот.

Параллельный колебательный контур

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R₁ и R₂ имеет вид, изображенный на рисунке 19.

Рисунок 19 – Параллельный колебательный контур с потерями

и векторные диаграммы

Уравнение резонансной частоты определяется по формуле

. (2.38)

Резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного выражения (т. е. при R₁ <  и R₂ <  или R₁ >  и R₂ > ).

Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны друг другу: I_p1 = = UB₁ = I_p2 = UB₂. При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения i₀ = U/R_0э, где активное сопротивление R_0э называют эквивалентным резонансным сопротивлением параллельного контура. При резонансе токов эквивалентная проводимость равна нулю, а эквивалентное резонансное сопротивление контура

R_0э = ( ² + R₁R₂)/(R₁ + R₂) . (2.39)

Для контура с малыми потерями (R₁ <<  ; R₂ <<  ) резонансная частота будет приближенно совпадать с частотой ₀. Можно принять, что ² >> R₁R₂, тогда R_0э   ²/(R₁ + R₂) =  ²/R = Q²R, где R = R₁ + R₂. Отношение токов в ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура: I₁/I₀ = I₂/I₀ = Q, т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе в Q раз больше тока на входе контура (отсюда термин «резонанс токов»). На рисунке 19,в изображена векторная диаграмма токов для этого случая.

Колебательный контур подключается обычно к источнику с задающим напряжением и определённым внутренним сопротивлением R_Г. При резонансе токов напряжение на контуре . Определяя частотную зависимость и вводя понятие эквивалентной добротности контура, которая определяется выражением , можно получить АЧХ относительно напряжения на контуре, нормированного к напряжению U_КР:

. (2.40)

Задание 27. Составьте параллельный колебательный контур на частоту 1 МГц (полагаем сопротивление потерь в индуктивности равным 50 Ом, а в ёмкости – равным нулю). Рассчитайте элементы контура, а также рассчитайте и постройте АЧХ напряжения на контуре, нормированному к резонансному напряжению на контуре. Генератор, действующий на контур, имеет внутреннее сопротивление 1 кОм. Расчёт проведите с шагом 50 кГц для шести точек ниже частоты 1 МГц и шести точек выше, а также в точке 1 МГц.

Также определите резонансную частоту последовательного колебательного контура, составленного из рассчитанных элементов.

При выполнении задания используйте литературу [3, 4] и приведённые выше формулы. Выберите величину ёмкости контура в пикофарадах равной длине волны в метрах ( = = 300/f_МГц. Индуктивность определите из формулы для резонансной частоты последовательного колебательного контура (задание № 26). Волновое сопротивление и добротность также определите из формул задания № 26. При необходимости примените логарифмический масштаб по оси частот.